Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
этом случае полное решение (1.2) состоит из решения однородного уравнения (т. е. только что обсужденных свободных колебаний) плюс какое-либо решение неоднородного уравнения. Полагая, что свободные колебания имеют вид (1.8 - а), легко получить, что решение (1.2) при, заданной соотношением (1.11), записывается в форме
.(1.12)
Другими словами, результирующее движение есть суперпозиция свободного колебания и движения, называемого вынужденным колебанием, обусловленным внешней силой . Заметим, что частота вынужденного колебания такая же, что и у внешней силы. Амплитуда вынужденного колебания [см. (1.12)] определяется соотношением
,(1.13)
а его фазовый сдвиг относительно равен
.(1.14)
Из (1.12) ясно, что при свободное колебание с ростом затухает и по прошествии достаточного времени остается только вынужденное колебание.
В случае, когда , квадратный корень в знаменателе (1.13) равен нулю только при совпадении частот , т. е. в случае резонанса. При относительный фазовый сдвиг , как это следует из (1.14), равен нулю при и при ; другими словами, вынужденное колебание синфазно с внешней силой, если собственная резонансная частота больше, чем частота внешней силы, и сдвинуто по фазе на 180, когда . Для и (нерезонансный случай) из (1.12) получается решение
.(1.15)
Для (случай резонанса) решение (1.2) становится таким:
.(1.16)
Отметим, что движение, вызванное внешней силой, больше не является периодическим, но осциллирует с амплитудой , которая линейно растет со временем. И в электрических, и в механических системах, например во вращающихся механизмах или таких изделиях, как управляемые снаряды, часто жизненно необходимо спроектировать части машины так, чтобы избежать резонанса с возможными периодическими воздействиями на систему.
Когда имеется демпфирование , из (1.13) ясно, что амплитуда отклика всегда конечна. Тем не менеефизик обычно должен исследовать амплитуду вынужденного колебания, так как струна может лопнуть, если слишком велико. Из (1.3) и (1.13) легко получить нормированный отклик
.
Рис. 1.1 Резонансные кривые вынужденных колебаний линейной системы.
Экстремальные значения достигаются при и . Если , максимум имеет место при ; если и , максимум достигается при , а минимум при . При малых значениях коэффициента демпфирования максимальная амплитуда достигается почти на собственной частоте. На рис. 1.1 показана частотная характеристика как функция при различных значениях . Очевидно, что эти кривые определяют амплитуду колебаний, или отклик системы на внешнюю силу любой заданной частоты.
В заключение этого раздела сформулируем принцип суперпозиции, который гласит: если под действием внешней силы линейная системаимеет отклик , а под воздействием - ,то под воздействием ее суммарный отклик равен . Этот фундаментальный факт является прямым следствием линейности дифференциального уравнения (1.1). Совершенно ясно, что этот принцип несправедлив для систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Теория линейных дифференциальных уравнений основательно изучена и развита, особенно для линейных систем с постоянными коэффициентами. С другой стороны, почти ничего не известно относительно общих принципов нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений (как однородных, так и неоднородных); следовательно, физик, сталкивающийся с нелинейной задачей, должен сражаться с ней один на один. Далеерассмотрим методы и технику решения некоторых типов задач теории нелинейных колебаний и приложим эти результаты к целому ряду нелинейных задач. Также продолжим рассмотрение случая детерминированных сил (сигналов), а случай недетерминированных воздействий (сигналов) пока отложим.
2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами
Основная цель этого раздела - дать краткий анализ механических или электрических систем, описываемых дифференциальным уравнением
(2.1)
при и . По аналогии с механической линейной системой, о которой только что шла речь, удобно здесь и в последующих главах трактовать член как силу инерции, - как демпфирующую силу или силу трения, - как возвращающую силу, а - как внешнюю силу, возбуждение или приложенный сигнал. Заменив , имы получим уравнение (2.1), которое действительно в теории систем ФАП, отслеживающих монохроматический сигнал с постоянным фазовым сдвигом при использовании интегрирующего фильтра, т.е. при .
Другой пример физической задачи, которая приводит к тому же уравнению, - качаниероторов синхронных электрических машин, связанное с изменением нагрузки во времени.
Не будем рассматривать решения уравнения (2.1) во всей их общности, поскольку имеющиеся на сегодня знания относительно явления нелинейных колебаний в основном ограничены несколькими специальными случаями. Рассмотрим, однако, построение теории, которая существенна для понимания сути процессов синхронизации, слежения и когерентной демодуляции.
Рассмотрим сначала простейший вариант уравнения (2.1):
.(2.2)
Это случай свободных колебаний консервативной системы с нелинейной восстанавливающей силой. Наиболее изученный пример колебательного движения, описываемого уравнением (2.2), - это движение математического маятника; , где - длина маятника; - ускорение силы тяжести и - присоединенная масса. Переменная аналогична фазовой ошибке в системе ФАП. Е