Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?ы к некоторой другой в результате зрительного воздействия. При таких обстоятельствах эти частоты легко стягиваются (синхронизируются по фазе) в одну или более групп. Фазовая синхронизация колебаний наблюдается в биологических системах: у светлячков, сверчков и лягушек. Точное регулирование частоты, которое делает возможным использование электрических часов высокой точности, связано с фазовой синхронизацией или подтягиванием частот в системах, вырабатывающих электроэнергию. В терминах биологии можно сказать, что параллельное соединение генераторов имеет лучший гомеостаз, чем одиночный генератор, вследствие стягивания частот.
Одна из центральных проблем биологии состоит в том, чтобы понять способ, посредством которого основные вещества, образующие гены или вирусы или, возможно, специфические вещества, порождающие рак, воспроизводят себя из материалов, не обладающих подобной специфичностью: таких, как смесь амино- и нуклеиновых кислот. Согласно Винеру [3] вполне допустимо, что это явление можно рассматривать как своего рода сопряжение частот. Подтягивание и связывание частот наблюдаются также в атомной физике, когда дело касается молекулярных спектров. Планеты - это также осцилляторы с нелинейными характеристиками; их возмущения определяются нелинейным взаимодействием. То же явление наблюдается при изучении частиц высокой энергии с помощью циклотронов. Периодическое затягивание непосредственно наблюдалось в биологических ритмах, таких как движение плавников рыб (называемом относительной координацией), в почти синхронных ритмах, магнетронах, в генераторах с захватыванием и некоторых типах плазмы.
3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла
Нелинейные системы с колебаниями релаксационного типа были изучены методами, связанными с именем Хилла [10]. Отыскание решения для переходного процесса в синхронизируемой системе зависит от нашего умения решать дифференциальное уравнение, называемое уравнением Хилла [10]. Обсуждение общей теории уравнения Хилла, затрагивающей вопросы существования, единственности и ограниченности решений, выходит за рамки настоящей курсовой работы. Тем не менее, будет полезным ознакомление с видом этого уравнения.
Простая электрическая цепь, приводящая к уравнению Хилла, состоит из параллельного контура, включающего постоянную индуктивность и конденсатор, емкость которого, по предположению, периодически меняется со временем. Для заряда конденсатора имеем дифференциальное уравнение
.(3.38)
Легко привести многие другие примеры физических задач, связанных с уравнением Хилла; однако если некоторая функцияпериодична по , линейное уравнение
(3.39)
называется уравнением Хилла, только если и - константы. Если, например, в (3.39) , причем , и , то в результате получим специальный случай уравнения Хилла - уравнение Матье. В общем же случае для выявления функционального характера решений уравнения Хилла можно использовать теорию Флоке, относящуюся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. Эта теория, к сожалению, не решает вопроса об устойчивости, что обычно можно выполнить только с помощью детального изучения решений данного дифференциального уравнения.
Заключение
Нет такого раздела физики, в котором мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями, в которых имеют место колебания. В оптике, акустике, механике, электричестве, в теории атома - всюду мы встречаемся с колебаниями. Колебательные процессы широко распространены в природе и находят применение во многих практических приложениях.
Как известно, существует много разных типов колебаний. Однако все колебательные процессы можно разделить на колебания, совершающиеся в линейных и в нелинейных системах. Названия их определяются видом дифференциальных уравнений, которые описывают колебательное движение материальной системы. Линейными системами называют такие системы, в которых основной закон колебаний выражается линейным дифференциальным уравнением. Очевидно, что нелинейные системы - такие, для которых основной закон выражается нелинейным дифференциальным уравнением.
На сегодняшний день наиболее изученными являются линейные системы. Это и не удивительно. Ведь если оглянуться назад, то можно заметить, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем. В то же время большой интерес представляют нелинейные системы. Ведь практически все процессы и явления, которые встречаются на практике, являются нелинейными по своей природе.
Исследование нелинейных колебаний значительно усложняется, т.к. нет общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Разница между процессами в линейных и нелинейных колебательных системах сводится к тому, что при анализе колебаний в линейных системах по частным процессам можно сделать вполне определенное заключение о всех возможных в данной системе процессах, а для процессов в нелинейных системах вообще этого сделать нельзя.
Но, если рассматривать малые колебания, такие, при которых координата и скорость изменяются на малую величину, то многие нелинейные уравнения станут линейными и исследование движения значительно упростится.
В данной дипломной работе мы рассмотрели более подробно приемы решения некоторых типов задач теории нелинейных колебаний. Рассмотрели методы изучения свободных колебаний нелинейных