Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
и.
Движение относительно точек при соответствует в схеме ФАП случаю, когда фазовая ошибка периодична. Вращение маятника вокруг точки подвеса при соответствует поведению системы ФАП вне области синхронизма, т. е. режиму проскальзывания циклов, режиму биений. Действительно, движение изображающей точки слева направо () на фазовой плоскости соответствует случаю, когда фаза подстраиваемого генератора кольца ФАП отстает на многие периоды от фазы синхронизирующего сигнала. Соответственно движение справа налево учитывает опережение фазы управляемого генератора относительно входных колебаний. Аналогичное явление перескока фазы встречается при нарушениях функции сердца и при перегрузке синхронных машин.
Заметим, что положения равновесия колебательной системы соответствуют тому, что мы позже определим как особые точки фазовой плоскости , . Оказывается, расположение этих особых точек прекрасно характеризует общую картину кривых энергии.
В следующем разделе мы детально изучим природу различных особых точек (особенностей)для того, чтобы применить приобретенные познания к решению некоторых вопросов, обсуждаемых в курсовой работе.
2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой
В этом разделе будем заниматься дифференциальным уравнением
,(2.19)
когда и . В присутствии переменные и не разделяются и выполнить явное интегрирование, как в предыдущем разделе, не удается. Дифференциальное уравнение (2.19) возникает в теории маятника, когда присутствуют силы трения. В данный момент мы используем (2.19), чтобы ввести понятие особенностей (особых точек на фазовой плоскости).
Так как при время не входит явно в (2.19), можно свести это уравнение к уравнению первого порядка, вводя скорость :
,(2.20)
что выражает наклон , касательной к траекториив точке.Полезно отметить, что в верхней полуплоскости увеличивается с ростом ,и, следовательно, изображающая точка движется слева направо с возрастанием . Наоборот, при изображающая точка движется справа налево. Из-за присутствия в (2.20) невозможно, вообще говоря, разделить переменные и получить кривые энергии. Имеется некоторое преимущество в замене одного уравнения (2.20) двумя дифференциальными уравнениями первого порядка
,(2.21)
которые определяют векторное поле с компонентами . Вектор поля всегда касателен к фазовой траектории и указывает, куда вдоль нее движется изображающая точка [] на фазовой плоскости с возрастанием .Однако это поле не имеет направления в точках, где числитель и знаменатель (2.20) одновременно обращаются в нуль, т. е. при . Из (2.21) видно, что компоненты векторного поля равны нулю в таких точках, называемых особыми точками уравнения (2.20). Что касается физической ситуации, то особая точка соответствует положению равновесия с нулевой скоростью. Такие особенности встречались в случае маятника без трения - при . Природа особенностей представляет решающий фактор при определении качественного характера решений, а также существования периодических решений.
В работах Пуанкаре [4] показано, что полного описания типов особенностей можно достигнуть, разобрав поведение фазовых траекторий в окрестности изолированной особой точки дифференциального уравнения
,(2.22)
которое получается из системы двух уравнений
.(2.22 - a)
Напомним, что под особенностью уравнения (2.22) понимается особая точка , в окрестности которой функцияперестает быть непрерывной и удовлетворять условию Липшица. Очевидно, точка равновесия (), для которой, , является особой. Отметим, что уравнение (2.22) [или система (2.22 - а)] является более общим, чем (2.20) [или (2.21)], и переходит в него в частном случае, когда .
Пусть константы и таковы, что , а и стремятся к нулю так же, как когда и . Пуанкаре показал, что в указанных условиях дифференциальное уравнение
, (2.23)
имеет те же особенности, что и простое уравнение линейной системы
.(2.24)
Кроме того, Пуанкаре показал, что критерий для различения типов особенностей уравнения (2.23) можно выразить через и . В некоторых случаях; это означает, что имеют место особенности более высокого порядка.
2.2 Различные типы особенностей
Изучим четыре частных случая уравнения (2.24), в которых это дифференциальное уравнение может быть наглядно решено. Для наших целей эти четыре случая представляют четыре типа особенностей, которые важны в последующем.
Случай 1. Интегрирование этого уравнения дает выражение фазовых траекторий:. Если , ясно, что все графики - прямые линии, проходящие через начало координат (рис. 2.3 - а). Если, все кривые проходят через начало координат и касательны к оси , за исключением кривой (рис. 2.3 - б). Если , все траекториипроходят через начало координат и касаются оси , за исключением траектории . Во всех трех случаях начало координат называют неустойчивой узловой точкой, или неустойчивым узлом.
Рис. 2.3 Фазовые портреты, иллюстрирующие особую точку типа узел
Ситуация совершенно отличается, если . Фазовые кривые имеют две асимптоты: , , совпадающие с осями координат. Лишь эти две траектории проходят через начало координат; все остальные избегают его. Этот тип особенности называют седлом (рис. 2.4). Седло - такая особая точка, к которой стремятся только траектории, являющиеся асимптотами фазовых кривых. Каждая асимптота называется сепарат?/p>