Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?иссой. В случае маятника без трения (см. рис. 2.2) неустойчивые состояния равновесия ( - нечетное) соответствуют особенностям этого рода.
Рис. 2.4 Поведение фазовых траекторий в окрестности особой точки типа седло
Случай 2. (т. е. ). Для этого случая, и фазовые кривые - эллипсы () с центром в начале координат или окружности, когда . Такая особенность называется центром (см. рис. 2.1), а соответствующий фазовый портрет представляет периодическое движение. Устойчивые точки равновесия ( - любое целое число) маятника без трения (рис. 2.2) принадлежит к этому типу.
Случай 3. (т. е. ), причем . Это уравнение можно решить, вводя полярные координаты. В новых переменных уравнение сводится к , и траектории получаются как ; они представляют собой логарифмические спирали (рис. 2.5). Такая особенность при называется устойчивым фокусом (неустойчивый фокус при ) и встречается при нелинейном анализе ФАП в отсутствие шума. Если фокус устойчив, движение стремится к началу координат; в случае неустойчивости движение расходится от начала координат.
Случай 4. . Подстановка переводит это уравнение в более простое , откуда , или .
Рис. 2.5 Поведение фазовых траекторий в окрестности особой точки типа фокус
Все кривые (рис. 2.6) проходят через начало координат. Начало координат снова оказывается неустойчивым узлом.
Рис. 2.6 Поведение фазовых траекторий в окрестности узла
Наконец, согласно (2.20) наклон фазовой траектории является некоторой функцией и , скажем . Годограф точки, которая движется таким образом, что ( - константа), определен Ван дер Полем [5] как изоклина. Часто несложно методом изоклин определить тип особой точки и выяснить, является она устойчивой или нет.
.3 Маятник с трением, пропорциональным модулю скорости
Для этого случая положим в (2.19) и и перейдем от (2.19) к уравнению I порядка для траекторий
,(2.25)
Очевидно, что особые точки, соответствующие состояниям равновесия, имеют место при , где - любое целое число, и . При правая часть (2.25) принимает форму , и это соответствует особенности, называемой центром (тип движения показан на рис. 2.1) или фокусом; однако наш критерий для классификации особых точек не позволяет различить эти два случая. При, , особенность называется центром, что соответствует случаю маятника без трения (см. рис. 2.1). Однако при наличии трения особенность является устойчивым фокусом. Мы знаем из предыдущего обсуждения,что при ( - нечетное), особая точка - седло. Следовательно, особенности при , являются устойчивыми фокусами, если четное, и седлами, если нечетное. На рис. 2.7 показано схематически несколько характерных фазовых траекторий. Видно, что движение маятника стремится к устойчивому состоянию равновесия. Точки , соответствуют устойчивому состоянию равновесия. Точки , соответствуют устойчивым стационарным точкам ФАП.
Рис. 2.7 Фазовый портрет маятника с трением, пропорциональным модулю скорости
Хотя дифференциальное уравнение (2.25) существенно нелинейное, специфический вид функции позволяет найти точное решение (2.25). Фазовые траектории (рис. 2.7) можно получить в явном виде, если ввести в (2.25) новую переменную :
(2.26)
Эти уравнения - линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами относительно функции . Таким образом, решение (2.26) легко выписывается как
(2.27)
для и
(2.28)
для . В (2.27), (2.28) и - произвольные постоянные.
колебание синхронизация фазокогерентный связь
3. Незатухающие и релаксационные колебания
В этом разделе мы приступим к рассмотрению нелинейной задачи для случая, когда трение нелинейно, а восстанавливающая сила предполагается линейной. Нелинейность силы трения будет такова, что когда амплитуда колебаний увеличивается, скорость убывает; а при уменьшении амплитуды скорость растет. Следовательно, в этом случае состояние покоя неустойчиво, и колебание нарастает даже в отсутствие внешних сил или сигналов. Это явление объясняет, почему такие колебания называют самовозбуждающимися (самоподдерживающимися), или автоколебаниями.
Наиболее наглядными системами, которые приводят к автоколебаниям, являются электрические цепи, содержащие вакуумные лампы или транзисторы. Эти схемы используются в технике связи в качестве автогенераторов, частота колебаний которых управляется напряжением модуляторов и т. д. Электрическая схема, изображающая автогенератор с трансформаторной обратной связью, показана на рис. 3.1. Эта практически интересная схема описывается дифференциальным уравнением, которое мы намерены изучать. Приступим к выводу дифференциального уравнения для тока , протекающего через катушку индуктивности генератора.
Рис. 3.1 Схема генератора с обратной связью
Предположим, что сеточным током можно пренебречь. Заметим что полный ток, протекающий в анодной цепи,
.(3.1)
Используя элементарные соотношения между током и напряжением, легко написать
.(3.2)
Напряжение на сетке обеспечивается взаимной индуктивностью :
,(3.3)
а потенциал анода
,(3.4)
где - напряжение батареи.
До сих пор еще не были использованы характеристики самой лампы. Лампа - это нелинейный элемент, сконструированный так, что с достаточно хорошей точностью анодный ток в нем зависит от линейной комбина?/p>