Нелинейные колебания и синхронизация колебаний
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
?ллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.
Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.
1. Свободные колебания в линейных системах
Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.
Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности , соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой ,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем
.(1.1)
Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением
.(1.2)
По аналогии имеем, что ; ; и, причем токявляется аналогом смещения .
Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы
Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения
,(1.3)
приводим (1.2) к виду
.(1.4)
Поскольку , колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:
,(1.5)
где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения
.(1.6)
Таким образом, и заданы соотношениями
.(1.7)
Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина : а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид
,(1.8 - а)
,(1.8 - б)
,(1.8 - в)
где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока ) и скорости в некоторый начальный момент .
Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с . Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению
.(1.9)
Следовательно, если, то колебания затухают экспоненциально с течением времени .Однако если (что соответствует отрицательному демпфированию или отрицательному коэффициенту трения), колебания экспоненциально нарастают. Случаи, когда , наиболее распространены на практике.
Если , система не имеет демпфирования и движение часто называют незатухающими колебаниями. Для этого случая и
, (1.10)
что указывает на простое гармоническое движение с круговой частотой
.
Поскольку вещественно, колебания, определяемые (1.10), называются собственными колебаниями. Величина называется собственной или резонансной частотой.
Наконец, решение (1.8 - б) для соответствует переходу от колебательного к апериодическому движению; такое движение соответствует критическому демпфированию.
.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы
Рассмотрим теперь движение, которое имеет место в присутствии внешней силы , зависящей только от времени. В этом параграфе рассматривается случай, когда - детерминированная функция;в последующих главах основное внимание будет уделено случаю недетерминированной, т. е. изучению случайных нелинейных колебаний. Для наших целей наиболее важным является случай периодической. Например, может быть синусоидальной:
,(1.11)
где - амплитуда; - круговая частота, а - константа, называемая фазой .В