Исследование устойчивости алгоритмов приема к изменению помехи
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
отки
Для аддитивной нормальной помехи с нулевым средним и дисперсией ?2, такой, что её распределение равно
, (14)
из (8) имеем
. (15)
В этом случае алгоритм (13) совпадает с корреляционной обработкой, и решение о наличии сигнала принимается, когда выполняется нижеследующее условие
. (16)
В случае лапласовской аддитивной помехи со средней мощностью ?2 и распределением
. (17)
Характеристика нелинейного преобразования выглядит так
, (18)
т.е. фактически является характеристикой идеального ограничителя.
Таким образом, если перед коррелятором поставить идеальный ограничитель, то получим обнаружитель детерминированного сигнала, причём асимптотически оптимальный для лапласовской помехи, а решение о наличии сигнала будет приниматься при выполнении условия
. (19)
Теперь предположим, что вместо распределения имеем распределение , т.е. изменяются лишь параметры асимптотически нормального распределения.
Тогда среднее и дисперсия статистики (13) при гипотезе Н, когда выборка помехи принадлежит новому распределению
, (20)
, (21)
где .
Соответственно при альтернативе К, когда выборка xi принадлежит распределению , среднее значение статистики записывается как
(22), и при
, (23)
где , (24)
тогда имеем
(25)
Соответственно дисперсия статистики (13) при альтернативе К и тех же условиях:
, (26)
т.е. определяется согласно (21). Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне помех с распределением , получаем из (13) подстановкой g (x) (24) вместо f (x), а именно
. (27)
Тогда параметры данной статистики равны:
, (28)
. (29)
Чтобы охарактеризовать устойчивость алгоритма (14), найдём его коэффициент асимптотической относительной эффективности ?, когда действует помеха с распределением по отношению к алгоритму (27). ? можно определить как произведение возведённых в квадрат отношений среднего значения и дисперсии для рассматриваемого алгоритма, тогда в данном случае имеем:
. (30)
Если рассматриваемые в алгоритмах распределения помех симметричны относительно нуля, тогда выполняется (28) и
. (31)
Рассмотрим несколько примеров.
Если , то алгоритм совпадает с линейным алгоритмом, оптимальным при нормальной аддитивной помехе с
. (32)
Пусть линейный алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной помехи с распределением Лапласа с дисперсией [см. (17)]:
, (33)
и имеем , тогда по формуле (31):
. (34)
Видно, что асимптотическая эффективность линейного оптимального при нормальной помехе алгоритма снижается в два раза при его использовании для обнаружения сигнала на фоне лапласовской помехи.
Если , то алгоритм совпадает с асимптотически оптимальным алгоритмом обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной лапласовской помехи. Пусть этот алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной нормальной помехи с дисперсией ?2, тогда и по формуле (31) имеем:
. (35)
2.2 Ранговые алгоритмы обнаружения сигналов на фоне независимых помех
В случае ранговых и знаково-ранговых алгоритмов обнаружения сигналов при конечных размерах выборки синтезу оптимальных по критерию Неймана-Пирсона алгоритмов обнаружения препятствуют непреодолимые математические трудности, что является причиной фактически эвристического выбора того или иного рангового метода, избежать такого выбора помогает асимптотический подход.
При определённых условиях, а именно при ограничениях на структуру сигнала и помехи, существуют асимптотически наиболее эффективные ранговые алгоритмы обнаружения сигналов, эквивалентные по характеристикам обнаружения неранговым алгоритмам, оптимальным по критерию Неймана-Пирсона.
Введём случайную величину
, (36)
где F1 - интегральная функция распределения, которому принадлежит выборка xi. Она распределена равномерно на интервале (0, 1). АО ранговые алгоритмы обнаружения сигналов на фоне независимых помех можно получить из АО неранговых алгоритмов заменой
, (37)
где Ri - ранг элемента xi выборки размера n.
Используя это, из (14) можно получить асимптотически оптимальное ранговое правило обнаружение детерминированного сигнала с помощью замены xi на :
. (38)
Сформулируем данное правило для различных типов помех.
Для аддитивной помехи согласно (16) имеем:
. (39)
В случае нормальной помехи
. (40)
где - функция, обратная интегральной функции нормального распределения (интеграла Лапласа), таким образом, правило формулируется:
. (41)
При лапласовской помехе можно получить
, (42)
соответственно правило преобразуется к виду:
. (43)
Устойчивость же АО ранговых алгоритмов так же можно охарактеризовать коэффициентом относительной асимптотической эффективности. Если при обнаружении детерминированного сигнала на фоне помехи с распределением u1 (x; 0) испол