Исследование устойчивости алгоритмов приема к изменению помехи
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?ной вероятности ложной тревоги обеспечивает при заданном размере выборки n минимальную вероятность PПС пропуска сигнала ?ns (t) (критерий Неймана-Пирсона). Тогда асимптотически оптимальным (АО) будет такой алгоритм, если для любого другого алгоритма выполняется соотношение:
, (3)
где n - размер выборки, - минимальная вероятность пропуска сигнала при обработке с помощью асимптотически оптимального алгоритма, - минимальная вероятность пропуска сигнала при использовании любого иного алгоритма.
Основной идеей асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех является нахождение асимптотически достаточной статистики, распределение которой сводится к нормальному. Такая статистика существует при условии факторизации отношения правдоподобия, а, следовательно, при равенстве логарифма отношения правдоподобия сумме случайных величин.
Можно предположить, что если в известное оптимальное правило выбора решения для нормальных распределений подставить асимптотически достаточную статистику, то получится асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения сигналов на фоне помех широкого класса, от распределения которых будет зависеть только устройство формирования достаточной статистики.
Рассмотрим асимптотические разложение логарифма правдоподобия.
Пусть - независимая выборка из реализации x (t), где , . Проверяется гипотеза Н о том, что выборка однородная и принадлежит распределению помехи против альтернативы К о том, что элемент выборки хi принадлежит распределению смеси детерминированного сигнала ?п s (t) с помехой. Оптимальный алгоритм проверки обнаружения детерминированного сигнала на фоне стационарной независимой помехи состоит в сравнении с порогом отношения правдоподобия
(4)
или (с учётом монотонности логарифмической функции логарифма) отношения правдоподобия
, (5)
который представляет при любом п достаточную статистику в задаче проверки статистических гипотез [1].
Синтез асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех как раз и основан на исследовании асимптотического разложения логарифма отношения правдоподобия при неограниченном увеличении размера выборки, а так же при стремлении амплитуды рассматриваемого сигнала ?ns (t) к нулю и ( - положительная константа).
алгоритм помеха асимптотический оптимальный
Cформулируем некоторые условия, которым должна удовлетворять плотность вероятности смеси сигнала с помехой. Обозначим через параметр функции
, (6)
где s = s (t) - значение (нормированное) сигнала в произвольный момент времени. Потребуем, чтобы плотность вероятности удовлетворяла следующим условиям: непрерывна по в точке равномерно по всем значениям x, не обращается в нуль в области возможных выборочных значений и допускает следующее разложение
, (7)
где (8)
и (9)
, (10)
причём для любого всегда найдётся такое 0, что
.
При указанных условиях логарифм отношения правдоподобия допускает следующее асимптотическое разложение
, (11)
где W s - мощность сигнала, а именно:
.
Остаточный член в полученном разложении (11) стремится к нулю по вероятности при как при гипотезе H, так и при альтернативе к ней. Из (11) также видно, что асимптотические свойства логарифма отношения правдоподобия определяются в основном линейным членом, т.е. статистикой:
. (12)
Статистика (12) по центральной предельной теореме асимптотически нормальная, так как предполагается, что суммируемые величины независимы и что при достаточно большом числе n для реальных сигналов отношение дисперсии любого слагаемого к дисперсии суммы меньше любой произвольно малой величины.
Из (11) и (12) непосредственно следует, что при статистика отличается лишь постоянным множителем ? и слагаемым от отношения правдоподобия, которое представляет достаточную статистику в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала, следовательно, является асимптотически достаточной. Тогда асимптотически оптимальное правило для обнаружения детерминированного сигнала ?s (t) на фоне независимых помех с распределением можно сформулировать так: решение о том, что сигнал есть, если
, (13)
а решение, что сигнала нет, если выполняется неравенство, противоположное (13). Значение порога определяется исходя из заданной вероятности ложной тревоги.
Структурную схему асимптотически оптимального обнаружителя детерминированного сигнала можно изобразить, как показано на рис.1. Она состоит из безынерционного нелинейного преобразователя выборки в величину f (x); коррелятора, выполняющего операции перемножения сигнала на выходе нелинейного преобразователя и значений опорного сигнала и суммирования, и решающего устройства, на которое подаётся значение порога, при превышении которого выносится решение о наличии сигнала.
Рисунок 1 - Структурная схема асимптотически оптимального обнаружителя одиночного сигнала в случае когерентного приема сигнала
В случае некогерентной обработки согласно [1] появляется второй канал:
Рисунок 2 - Структурная схема асимптотически оптимального обнаружителя одиночного сигнала в случае некогерентной обраб