Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ВВЕДЕНИЕ
Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.
Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.
Широко известны следующие применения:
любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью;
широчайшее применение в физике (как элементарной, так и в современной общей и теоретической физике);
разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике);
,;
в векторном анализе - вычисление контурных интегралов, потоков и т.п.
Цели работы:
Определить понятие вектора в пространстве.
Сформулировать свойства скалярного произведения ненулевых векторов, которые положены в основу применения к решению задач как алгебраических, так и геометрических.
Выявить типичные трудности, возникающие в процессе решения задач с помощью векторов.
Овладеть различными способами решения в процессе исследования.
1. ВЕКТОРЫ В ДВУХ- И ТРЕХМЕРОНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
.1 Понятие вектора. Определения и основные свойства
На плоскости или в пространстве (3-х мерном или большей размерности) возможно, задать прямую линию. Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками - его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой - второй (конец).Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим также используется обозначение вектора одной малой латинской буквой полужирного шрифта или со стрелкой (рис. 1, где изображен вектор а (или) с началом А и концом В). Начало вектора часто называется его точкой приложения.
Рис. 1
Таким образом, определение вектора таково:
Вектор - это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуют символ модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.
Вектор единичной длины называют единичным вектором.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором называется ортом вектора и обозначается символом .
К векторам относится и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).
Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.
Следствие 1. Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .
Следствие 2. Из равенства следует (симметричность).
Следствие 3. Из того, что и , следует (транзитивность).
1.2 Операции над векторами
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец - в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Рис. 2
В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют правилом треугольника.
Операция сложения векторов обладает свойствами:
(коммутатив