Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ует с вектором ортонормированного базисана плоскости угол ? (рис. 6), тогда
Рис. 6
Пример: Пусть вектор векторединичной длины образует с векторами , , ортонормированного базисаортонормированного базиса в пространстве углы ?, ?, ?, соответственно (рис.7), тогда
Рис. 7
Причем
Величины называются направляющими косинусами вектора
Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами.
Если даны две точки и , являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты x,y,z определяются по формулам
В этом случае модуль вектора равен:
С использованием направляющих косинусов координаты вектора можно записать в виде:
С использованием проекций легко записать операции сложения (вычитания) векторов, а также умножения вектора на число:
В частности, если
Если , то для любого числа
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов
является пропорциональность их координат:
Приведем еще раз определение координатного базиса (с использованием проекций).
Тройка векторовназывается координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:
). Вектор ежит на оси Ох, вектор - на оси Оу, вектор- на оси Oz;
). Каждый из векторов направлен по своей оси в положительную сторону;
). Векторы единичные, то есть
Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису, то есть может быть представлен в виде
коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть x, y, z есть проекции вектора на координатные оси).
2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначается через
Если ? - угол между векторами и , то
Скалярное произведение векторов и можно выразить также формулой
Из формулы (1) следует, что , если (острый угол), , если (тупой угол); в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны.
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
2.1 Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение обладает следующими свойствами (часть этих свойств приведена ранее. Здесь они приведены для полноты):
(коммутативность).
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).
Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой
вектор пространство скалярный величина
:">Неравенство Коши - Буняковского : для любых векторов и выполняется неравенство:
Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:
Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:
Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно
Эти формулы принимают более простой (и компактный вид) в ортонормированном базисе.
Действительно, пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно-соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что , где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы , и . Но, , где ? - угол между векторами , и . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.
Теорема: В ортонормированном базисе
имеют место следующие равенства:
) для двух векторов: и имеем:
) для вектора: имеем:
) для векторов и проекция вектора на вектор равна:
) для векторов и угол между ними равен:
Из формулы (4) следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Проекция произвольного векторана какую-нибудь ось U определяется формулой
где - единичный вектор, направленный по оси U.
Действительно, если даны углы которые ось U составляет с координатными осями, то
и тогда имеет место формула:
3. ПРИМЕНЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук. Ниже приведены несколько примеров использования скалярного произведения векторов.
Пример
Найти длину вектора , если
Решение:
Пример 4.2Теорема косинусов
Рис. 8
В треугольнике квадрат стороны с равен сумме квадратов других сторон минус удвоенн?/p>