Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?е произведение длин этих сторон на косинус угла между ними (см. рисунок 8)
Введем вектора, как показано на рисунке выше. Тогда получим (с использованием формулы (3)):
Пример
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Отсюда следует, что . Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Пример 4.4
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол с перемещением АВ= S (см.рис. 9).
Рис. 9
Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример
Радиус траектории движения материальной точки. Тело бросили горизонтально (в поле сил тяжести) со скоростью . Найти радиус траектории движения тела через t секунд
Рис. 10
Решение: При движении по криволинейной траектории радиус равен:
где - модуль скорости тела, - нормальное ускорение - компонента полного ускорения тела, перпендикулярная к полной скорости.
Так как тело движется в поле сил тяжести, то через t секунд проекции скорости по осям х и у равны:
где - ускорение свободного падения. Теперь получим:
Пример
В правильном тетраэдре DABC отрезок MN соединяет середину ребра AD с центром граниBCD, а отрезок QP соединяет середину ребра CD с центром грани ABC . Найти угол между отрезками MN и PQ (см. Рис. 11).
Рис. 11
Решение. Положим. Из простых геометрических соображений получим:
Обозначим - угол между векторами и . Из формулы (1) (определение скалярного произведения) получим:
Очевидно, что:
Отсюда получим:
Так как
то имеем:
Подставив полученные выражения в (***), получим:
Ответ. Угол между отрезками MN и PQравен:
Рассмотрим интересную задачу:
Она предполагает разнообразные способы решения, применение которых позволяет демонстрировать значение использования внутрипредметных связей при установлении зависимостей между математическими объектами.
Решение:
Первый способ.
Из условия вытекает, что
И нужно доказать, что Следующая цепочка верных неравенств приведет нас к желаемому результату:
Требуемое доказано.
Второй способ.
Ясно, что
В силу соотношения между средним геометрическим и средним арифметическим двух неотрицательных чисел можно записать следующее:
Прибавим к обеим частям верного неравенства выражение Получаем:
Но поэтому
Третий способ.
Опираясь на соотношение между средним квадратичным и средним арифметическим двух положительных чисел, имеем:
Четвертый способ решения указывает на связь алгебры и тригонометрии.
Согласно условию можно допустить: Решение
задачи свелось к доказательству истинности неравенства
Очевидно, что
И требуемое очевидно истинно.
Решение пятым способомосновано на применении известного свойства скалярного произведения ненулевых векторов. (То есть где - угол между векторами и
Причем, ввиду того, что
И равенство слева выполняется в случае, если векторы и противонаправлены, а справа - если векторы и сонаправлены.)
Рассмотрим векторы и Тогда и
а
И далее то есть
Решим задачу шестым способом.
Рассмотрим графическую интерпретацию задачи.
Для этого введем замену: Тогда уравнение и неравенство будут выглядеть так: и Учитывая, что построим их графики - отрезок с концами на координатных осях Ох и Оу в точках , и открытую область, ограниченную четвертью окружности
Рис. 12
и положительными координатными полуосями.
Ясно, что эти графики касаются в точке Все точки первого графика расположены в области, являющейся графиком неравенства
Следовательно, требуемое доказано.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Скалярное произведение широко используется в математике и других естественных науках. Решение многих задач получается элегантным и компактным способом с использованием векторов. Отметим, что свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо знакомым правилам. В то же время вектор - геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол. С этим связана польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания).
Заметим также, что алгебраическая трактовка векторов (свойства, базис, скалярное произведение, и т.д.) позволило обобщить понятие вектора на другие математические объекты. Например, понятие вектора естественным образом используется в геометрии (в пространстве Минков