Использование программы Mathematica в учебном процессе
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ычной декартовой системы координат. Координаты каждой точки при этом задаются в параметрическом виде: x = f x (t) и у = f y (t), где независимая переменная t меняется от минимального значения min до максимального t mах с шагом dt. Особенно удобно применение таких функций для построения замкнутых линий, таких как окружности, эллипсы, циклоиды и т. д. Например, окружность радиусом R может быть задана в следующей параметрической форме: х = R cos(t) и у = R sin(t), если t меняется от 0 до 2п. В общем случае радиус также может быть функцией параметра t.
Для построения параметрически заданных функций используются следующие графические средства:
ParametricPlot [ {fx, fy}, {t, tmin, tmax} ]-строит параметрический график с координатами f х и f у (соответствующими х и у), получаемыми как функции от t;
ParametricPlot [{{fx, fy}, {gx, gy},...}, {t, tmin, tmax}] -строит графики нескольких параметрических кривых.
Функции f x, f у и т. д. могут быть как непосредственно вписаны в список параметров, так и определены как функции пользователя.
Рисунок 8.12 показывает построение параметрически заданной фигуры Лиссажу. Она задается функциями синуса и косинуса с постоянным параметром R и аргументами, кратными t. Эти фигуры наблюдаются на экране электронного оiиллографа, когда на его входы X и Y подаются синусоидальные сигналы с кратными частотами.
Рис. 2.12. Построение фигуры Лиссажу
На одном графике можно строить две и более фигур с заданными параметрически уравнениями. На рис. 2.13 показан пример такого построения - строятся две фигуры Лиссажу, причем одна из них является окружностью. Больше двух фигур строить нерационально, так как на черно-белом графике их трудно различить.
Теперь рассмотрим второй способ построения графиков в полярной системе координат (рис. 2.14). Здесь каждая точка является концом радиус-вектора R(t), причем угол t меняется от 0 до 2я. На рис. 2.14 функция R(t) задана как функция пользователя R[t_] с использованием образца t_ для задания локальной переменной t в теле функции.
Изменение параметра R позволяет заметно увеличить число отображаемых функций - фактически, их бесконечно много. Помимо описанной фигуры на рис. 2.14 дополнительно построена линия окружности единичного радиуса. Чтобы она имела правильные пропорции на экране, задана опция AspectRatio->l.
Рис. 2.13. Построение на одном графике двух фигур Лиссажу
Рис. 2.14. Построение графика функции в полярной системе координат
Трехмерная графика
Трехмерная графика, называемая также ЗD-графикой, представляет в аксонометрической проекции объемное изображение поверхностей или фигур, которые описываются либо функциями двух переменных, либо параметрически заданными координатами объектов. В данном разделе описаны многие способы построения трехмерных графиков, начиная от простых контурных графиков и кончая графиками поверхностей и фигур с функциональной окраской.
Построение контурных графиков
Контурные графики, или графики линий равных высот, используются для отображения поверхностей на плоскости. Они удобны для выявления всех экстремумов функций в пределах области графика. Такие графики являются линиями пересечения поверхности с секущими горизонтальными плоскостями, расположенными параллельно друг под другом. Они часто используются в картографии. Основными функциями и директивами для построения контурных графиков являются следующие:
ContourPlot[f,{x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] - порождает контурный график f как функции от х и у;
ContourGraphics [array] - представляет контурный график массива array;
ListContourPlot[array] - формирует контурный график из массива величин высот.
Этих функций достаточно для построения практически любых монохромных графиков такого типа.
Для управления возможностями графической функции ContourPlot используются опции, полный список которых выводит команда Options [ContourGraphics ]. Помимо уже рассмотренных ранее опций используются следующие:
ColorFunction - задает окраску областей между линиями;
Contours - задает число контурных линий;
ContourLines - задает прорисовку явных (explicit) контурных линий;
ContourShading - задает затенение областей между контурными линиями;
ContourSmoothing - задает сглаживание контурных линий;
ContourStyle - задает стиль рисуемых линий для контурных графиков;
MeshRange - задает области изменения х- и y-координат.
Рисунок 2.15 показывает построение контурного графика с окраской промежуточных областей между линиями. Окраска обеспечивается опцией ColorFunction-> Hue. Опция ContourSmoothing -> True задает сглаживание контурных линий.
Рис. 2.15. Контурный график поверхности sin(x у) с закраской областей между линиями равного уровня оттенками серого цвета
Следующий пример (рис. 2.16) иллюстрирует эффективность применения опции ContourShading. Если задать ее значение равным False, то заполнение пространства между линиями будет отсутствовать. Таким образом, в данном случае строятся только линии равного уровня.
Рис. 2.16. Контурный график, представленный только линиями равного уровня
Иногда график оказывается более наглядным, если убрать построение контурных линий, но оставить закраску областей между линиями. Такой вариант графика более предпочтителен, если нужно наблюдать качественную картину. Для построения такого графика надо использовать опцию ContourLine->False (рис. 2.17).
Рис. 2.17. Контурный график без пиний равного уровня
В данном случае используется вариант монохромной окраски областей между линиями