Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
>
Найдем точки пересечения эллипса с осью ОХ: Пусть y=0, тогда уравнение эллипса имеет вид: , следовательно .
Отсюда следует, что точки (-a,0),(a,0) являются точками пересечения с осью ОХ.
Найдем точки пересечения эллипса с осью ОУ: Пусть х=0,отсюда имеем: , отсюда .
Следовательно, точки (-b,0),(b,0)являются точками пересечения с осью ОУ.
Отсюда заключаем, что границы эллипса , отображающие его схематичное построение. (чертеж 2) [1.С. 105]
Чертеж 2
Расстояние |A1A2| = 2a называется большой (фокальной) осью эллипса, расстояние |B1B2| = 2b называется малой осью эллипса. Расстояния от начала координат до вершин A2(a, 0), B2(0, b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Вывод: Таким образом, заключаем, что эллипс вписан в прямоугольник с размерами 2a, 2b (чертеж 3).
Чертеж 3
2) Симметрия эллипса относительно координатных осей OX и OY:
Пусть принадлежит эллипсу, т. е - верное равенство.
Точка симметрична точке относительно оси ОХ
- верное равенство.
Следовательно, принадлежит эллипсу, отсюда заключаем, что эллипс симметричен относительно ОХ
Точка симметрична точке относительно оси ОУ, следовательно, эллипс симметричен относительно оси ОУ.
Точка симметрична точке относительно О (центра), следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат.[1.С.105-106]
Фокусы эллипса:
Пусть фокусы эллипса лежат на оси ОX. Межфокусное расстояние эллипса равно причем . Заметим, что
. [1.С.106]
4) Эксцентриситет эллипса:
Определение 2.2. Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.
.
Так как , следовательно, .
Если стремится к нулю при постоянном значении , то стремится к нулю. При этом величина стремится к . В предельном случаи уравнение эллипса принимает вид: . Это уравнение окружности. Если , то . При этом малая ось эллипса неограниченно уменьшается, эллипс стремится к отрезку. (чертеж 4) [1.С.106]
Чертеж 4
) Диаметры эллипса:
Всякая хорда, проходящая через центр эллипса, называется диаметром эллипса. В частности, диаметрами эллипса является его большая ось и малая ось. Всякий диаметр эллипса, не являющийся его осью, больше малой оси, но меньше большой оси (чертеж 5). [1.С.106-107]
Чертеж 5
) Касательная к эллипсу:
Уравнение касательной к эллипсу где - координаты точки касания и соответственно большая и меньшая полуоси эллипса (чертеж 6).
Чертеж 6
) Частный случай эллипса - окружность:
, где окружности.
) Взаимное расположение точек и эллипса:
эллипсу, если верное равенство,
Если то лежит внутри эллипса,
Если то лежит вне эллипса. [1.С.100]
) Уравнения директрис эллипса:
Пусть эллипс задан уравнением и если при этом , то и уравнения директрис эллипса, если , то директрисы определяются уравнениями .
ГИПЕРБОЛА
Определение 3.1. Гипербола - множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами [8.С.510]
Общий вид уравнения
Исследование свойств гиперболы по ее уравнению
) Пересечение гиперболы с осями координат:
Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей: правой и левой, простирающихся в бесконечность.
В уравнении (12) положим, что y=0, получим: отсюда . Следовательно, точки являются точками пересечения гиперболы с осью (чертеж 7).
Чертеж 7
Положим, что в уравнении (12) х=0, и получим: , следовательно, уравнение гиперболы не пересекает ось .
ЗАМЕЧАНИЕ: Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с осью (OY), то уравнение гиперболы имеет вид: . [1.С.107-108]
Определение 3.2. Гиперболы, заданные уравнениями и , называются сопряженными гиперболами.
Определение 3.3. Если a=b, гипербола называется равносторонней.
) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и :
Пусть принадлежит гиперболе, то есть верное равенство. Точка симметрична точке относительно оси ОХ:
- верное равенство. Следовательно, принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.
Точка симметрична точке относительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.
Точка симметрична точке относительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат. [1.С.108]
) Асимптоты гиперболы:
Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения:
и ,
Пусть текущая точка гиперболы, ее проекция на ось абсцисс. Прямая пересекает прямую , заданную указанным уравнением в точке . Докажем: что при .
Доказательство:
.Расстояние это ордината точки , лежащей на прямой . Она равна . Расстояние это ордината точки гиперболы, которую находим из её канонического уравнения: Тогда
Умножим и разделим равенство (13) на (),следовательно, получим:
При знаменатель дроби неограниченно увеличивается, следовательно, дробь стремится к нулю.
- уравнение гиперболы, в которой а - являются асимптотами гиперболы. (чертеж 20.) [1.С.1