Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Введение
Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии.
Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой.
Линии второго порядка возникли как сечения конических поверхностей плоскостью и имеют особенно большое значение в науке и технике.
Одним из первых, кто начал изучать конические сечения был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV и. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?. Так, изменяя угол при вершине прямой круговой поверхности, Менехм получил три вида кривых: эллипс - если плоскость будет перпендикулярна к образующей конической поверхности; гиперболу - если плоскость будет параллельна оси конической поверхности; параболу - если плоскость будет параллельна образующей конической поверхности. Но названия этих кривых придумал не Менехм, их предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг Конические сечения. Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одной и той же конической поверхности. Вид конического сечения зависит от расположения плоскости относительно оси или образующих конической поверхности.
Основная часть работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения линий второго порядка и методики использования ЦОР в VII-IX классах школьного курса алгебры.
Объект исследования - методика организации изучения линий второго порядка.
Предмет исследования - возможности использования ИКТ в организации изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов.
Цель данной работы: установить возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры.
Основные задачи работы:
Проанализировать и систематизировать содержание линий второго порядка в элементарной математике;
Проанализировать содержание и возможности использования для изучения линий второго порядка имеющиеся ЦОР по математике;
Проанализировать содержание темы Линии 2го порядка в школьных учебниках;
Рассмотреть примеры использования ИКТ в решении задач с линиями второго порядка
Глава 1. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
.1 Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении
Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Аналитическая геометрия описывает свойства линий на плоскости через их уравнения. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой (канонический) вид, удобный для исследования.
Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
где A,B,C,D,E,F - вещественные коэффициенты, причем .
Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.
Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.
Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x, y) координаты точки M в новой системе координат XOY.(чертеж 1.)
Чертеж 1
Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:
(так как ); (2)
(так как ); (3)
Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то , . (4)
Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому , . (5)
Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим: (6)
Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые при повороте XOY на угол ? вокруг О (0,0).
Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол ? в формулах (6) заменить на угол (??), так как при повороте системы координат X?OY ? на угол (??) мы получим систему XOY.
Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:
Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.
При , получим:
,
При :
, (7)
При :
,
При :
,
При :
.
Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:
(8)
Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент . Из (7) следует, что поэтому
После данного преобразования уравнение (1) примет вид:
. (9)
Докажем, что при повороте на любой угол ? имеет место равенство:
(10)
Так как мы подобрали угол ? так, что , то из (10) следует, что
.