Виды многогранников
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?мы. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многоугольников были впоследствии подробно описаны Платоном и стали называться в математике платоновыми телами.
И. Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название Космического кубка Кеплера (рис.2.9).
Существование только пяти правильных многогранников представлялось ученым фундаментальным фактом, который должен иметь прямое отношение к строению материи во Вселенной. Пифагорейцы считали многогранники божественными. Согласно их воззрениям, атомы основных элементов должны иметь форму различных платоновых тел: атомы огня - форму тетраэдра, земли - форму куба, воздуха - форму октаэдра, воды - форму икосаэдра. Древнегреческий учёный Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых, путём сгущения и разрежения, охлаждения и нагревания образуются все тела.) Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших (а поэтому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что, поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее острыми многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел, он обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий - земле пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник - куб.
С помощью простых и сложных атомов Платон попытался даже отразить взаимоотношения между стихиями: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь. Это уравнение надо понимать так: в элементе воды - икосаэдре - 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела - прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.
огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная додекаэдр
Пять правильных тел изучали Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Также необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в кругах художников, скульпторов, архитекторов. Ими занимались Леонардо да Винчи, Альберт Дюрер.
Итак, существует всего пять правильных многогранников.
Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник - от греческого тетра, т.е. четыре). Его четыре грани - равносторонние треугольники. Четыре - это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.
Куб, или гексаэдр (шестигранник - от греческого гекса, т.е. шесть) - самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней - квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине.
Октаэдр (восьмигранник - от греческого окта, т.е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде О снежинке высказал такое замечание: Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных - куб, а его, если позволительно так сказать, супруга - октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней.
Икосаэдр (двадцатигранник - от греческого икос, т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр - одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники.
И загадочный додекаэдр (двенадцатигранник - от греческого додека, т.е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников. В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).
2.5 Полуправильные многогранники
В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.
Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.
К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10). имеет своими гранями два правильных пятиугольника - основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.
Рис. 2.10. Правильная призма
К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Ка?/p>