Виды многогранников
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
аксимальной симметрией, то он правильный (так как ребро а совмещается с а, угол на грани а при вершине А совмещается с таким же углом, и двугранный угол между а и р4 совмещается с углом между а и р.- так что все ребра и углы равны). Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 те, где т - число ребер, сходящихся в одной вершине, и е - число вершин; те наложений первого рода и те - наложений второго рода. Они и образуют группу симметрии правильного многогранника. Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тетраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис. 1.5, а). Наиболее интересные элементы симметрии - это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраэдра, 6-го порядка - у куба, 10-го порядка - у додекаэдра (рис. 1.5,б). Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 1.5 в, г.
Рис. 1.5.
.5 Подобие многогранников
Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.
Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.
Кроме того, справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.
Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы - как кубы сходственных линейных элементов многогранников.
Глава 2. Виды многогранников
.1 Призма
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы - боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1 и А2В2 называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2… Аn В1В2…Вn и называют n - угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т.е. параллелепипед.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Рис. 2.1. Призма
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.
2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь Sполн. полной поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности и Sосн основания призмы формулой:
Sполн. =Sбок +2Sосн.
Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, Sбок= Ph.
Доказательство:
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, Sбок= Ph.
Теорема доказана.
.2 Пирамида
Многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А1А2…Аn называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1, РА2,…РАn - ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn - и называют n - угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида - это тетраэдр.
Рис. 2.2. Пирамида
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.
Свойства поперечных сечений пирамиды:
.Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:
боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;
в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;
площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S1:S2=X12:X22
.Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.
.2.1