Виды многогранников
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ков, то есть тремя способами. (Если число треугольников равно шести, то сумма плоских углов при общей вершине будет равна 360?). При использовании квадратов в качестве граней можно образовать многогранный угол лишь одним способом - с помощью трех приложенных друг к другу квадратов. Единственным способом может быть образован многогранный угол и из правильных пятиугольников. Правильные n - угольники при n многогранных углов, очевидно, не образует вообще. Таким образом, могут существовать только пять типов правильных многогранников: три многогранника с треугольными гранями (тетраэдра, октаэдр, икосаэдр), один с квадратными гранями (куб) и один с пятиугольными гранями (додекаэдр).
1.3.1 Задачи на построение правильных многогранников
Рассмотрим наиболее оригинальные способы построения правильных многогранников.
Задача 1. Построить правильный тетраэдр.
Решение
Пусть дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис.1.4). Рассмотрим какую - либо его вершину, например А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную А, - вершины куба В1 , С1 , D. Точки А, В1 , С1 ,D. Являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ1 , В1С1 , С1D , АD, В1D и АС1 , очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирамиде с вершиной А и основанием В1С1D все грани - правильные треугольники, следовательно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.
Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра А1ВСD1 , равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.
Рис. 1.4. Куб
.4 Симметрия многогранников
Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.
Примеры размерности симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.
Мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии.
Теорема. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть А - его вершина, а - ребро с концом А, а - грань со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А, а, а существует наложение многогранника Р на себя, переводящее А в А, а в а, а в а.
Доказательство
Переносом многогранника переведем вершину А в А. Поворотом многогранника вокруг А переведем перенесенное ребро а в а. Поворотом многогранника вокруг ребра а приведем (перенесенную и повернутую) грань а в совпадение с гранью а. Так как грани равны, то грань а полностью совместится с а.
Так как двугранные углы равны, то для граней р и р, смежных с а и а, есть только две возможности: 1) р совпадает с р; 2) р не совпадает с р, но будет симметрична р относительно плоскости грани а. В таком случае отражением в этой плоскости переведем Р в р.
Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину А с А, ребро а - с а, грани а, р, смежные по ребру а, - с гранями а, р, смежными по ребру а.
Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой. Две грани многогранного угла при вершине А совпали (а с а, р с р). Перейдем к граням у и у, соседним с р. Двугранные углы, которые они образуют с р, равны и расположены с одной стороны - с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у совпадает с у. Так убедимся, что многогранные углы при вершине А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с А ребром, аналогично убедимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многограннику, убедимся, что он совпал сам с собой, что и требовалось доказать. ?
Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что они обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А с А, ребро а - с а, грань а- с а, и примыкающую грань р - с р. Наложение этим вполне определено, оно только одно. Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, р можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой м