Виды многогранников
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.
В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.
Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.
Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:
У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.
Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.
Задача 1. Проверить теорему Эйлера для выпуклого многогранника с вершинами в серединах ребер куба.
Решение. Количество вершин нашего многогранника равно количеству ребер куба, то есть В=12.
Далее, многогранник имеет 8 треугольных граней (столько, сколько вершин у куба) и 6 четырехугольных граней (на каждой грани куба одна грань нашего многогранника). Следовательно, Г=8+6=14. Наконец, число ребер равно: Р=1/2 х (8х3+6х4)=24.
Имеем: 12+14=24+2.
Задача 2. Привести пример какого-нибудь многогранника, у которого 9 вершин и 7 граней.
Решение. Возьмем какой-нибудь многогранник с близкими значениями чисел В, Р, Г. Например, куб - у него В=8, Г=6.
Заметим, что если срезать куб так, как показано на рисунке, то получится многогранник с требуемым количеством вершин, ребер и граней.
1.3 Понятие правильного многогранника с точки зрения топологии
Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии - науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще, все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.
Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.
В определении правильного многогранника количество сторон и граней являются топологически устойчивыми, то есть не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.
Например, все треугольники пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентны между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.
Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.
Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильных многогранник, гранями которого являются п-угольники и в каждой вершине сходится т ребер. Ясно, что п и т больше и равны трем. Обозначим, как раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней. Тогда
пГ= 2Р; Г=; тВ=2Р; В=.
По теореме Эйлера В-Р+Г=2, следовательно,
Откуда
.
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n+2m-nm >0, которое эквивалентно неравенству (n-2) (m-2)<4. Найдем все возможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу:
3453В=4, Р=6, Г=4 ТетраэдрВ=6, Р=12, Г=8 октаэдрВ=12, Р=30, Г=20 икосаэдр4В=8, Р=12, Г=4 КубНе существуетНе существует5В=20, Р=30, Г=12 ДодекаэдрНе существуетНе существует
Например, значения n=3, m=3 удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим: Р=6, В=4, Г=4. Значения n=4, m=4 не удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4, следовательно, соответствующего многогранника не существует.
Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники. Нетрудно понять, почему может быть только пять типов правильных многогранников. Возьмем простейшую грань - равносторонний треугольник. Многогранный угол можно образовать, приложив друг к другу три, четыре либо пять равносторонних треугольни