Виды многогранников
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?гих разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.
Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.
Понятие выпуклости - одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников
Многогранники обладают следующими свойствами:
. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.
. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.
. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.
Докажем одно из них.
Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В - точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F - выпуклый многоугольник.
Рис. 1.2.
1.2 Теорема Эйлера
Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.
Название многогранника В Р ГТреугольная пирамида 4 6 4Четырехугольная пирамида 5 8 5Треугольная пирамида6 9 5 Четырехугольная призма 8 12 6
В - число вершин
Р - число ребер
Г - число граней
Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.
Теорема Эйлера
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.
Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.
Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.
Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства
В-Р+Г=1 (*)
Где В - общее число вершин, Р - общее число ребер и Г - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г= Г-1, где Г - число граней данного многогранника.
Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).
Рис.1.3.
Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В - (Р+1) + (Г+1) = В-Р+ Г. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис.3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:
а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае - АВ и ВС;
б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае - MN.
В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г - многоугольника
(В-1) - (Р-2) + (Г-1)= В-Р+ Г
Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Г=1 и , следовательно В-Р+ Г=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство(*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:
В-Р+ Г=2
Для любого многогранника верны неравенства:
Другие факты: