Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
¤ункция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует, если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87 гг. Для городских школ это невозможно.
Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f -1 с областью определения D(f -1)=R и множеством значений E(f -1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение. Получим . В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции - через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде . Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f-1(x) симметричны относительно прямой y=x - биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов [5].
Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует обратная функция f -1 c областью определения D(f -1)= и множеством значений E(f -1)= . Для записи обратной функции решим уравнение y= x2 при условии х ? 0. Получим (арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается формулой [5].
Соотношение x = sin y позволяет с помощью таблиц найти как x по данной величине y, так и y по данной величине x (не превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи y = (arcsin читается как арксинус). Например, вместо 1/2 = =sin 30 можно написать 30 = arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут ?/6= arcsin (1/2).
б) Открытие нового знания происходит в виде лекции, где ученику будут представлены основные положения по данной теме.
Необходимо сказать учащимся, что основные моменты следует записать.
Рассматривается приведенный ниже материал.
Рассмотрим функцию y = sin х, которая на отрезке [-?/2;?/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [-?/2; ?/2] определена функция, обратная функции y = sin x.
Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y = arcsin x. Введем определение арксинуса числа а [4].
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-?/2;?/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ? 1; -?/2 ? arcsin а ? ?/2. Например, , так как sin и [-?/2; ?/2]; arcsin , так как sin и [-?/2; ?/2].
Функция y = arcsin х (рис. 13) определена на отрезке [-1; 1], областью ее значений является отрезок [-?/2;?/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y = arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -?/2 до ?/2 (это следует из того, что функция y = sin x на отрезке [-?/2; ?/2] непрерывна и монотонно возрастает).
Рис. 13
Наибольшее значение она принимает при x=1: arcsin 1 = ?/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -?/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].
Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = -arcsin х при любом х [-1; 1].
Действительно, по определению, если |x| ? 1, имеем: -?/2? arcsin x ??/2.
Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [-?/2; ?/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y = sin x нечетная, то sin (-arcsin х) = - sin (arcsin x) = - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-?/2; ?/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin(-х) = - arcsin х. Значит, функция y = arcsin x - нечетная. График функции y = arcsin x симметричен относительно начала координат.
Итак, искомый график уже построен на отрезке длины 2?. Но искомая функция имеет период 2?, поэтому график с любого отрезка длины 2? можно периодически продолжить на все значения х (см. рис. 14).
Рис. 14
Областью значений функции y = cos x является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает. Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y = cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos x.
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a) = a, |а|1; 0 ? arccos a ? ?.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи .
Функция y=arccos x (рис. 15) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y = arccos x непрерывна и монотонно убывает от ? до 0 (поскольку y = cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает экстремальных значений: arccos(-1)= ?, arccos 1 = 0. Отметим, что arccos 0 = .
График функции y = arccos x (см. рис. 15) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y = x [4].
Рис. 15
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = ? - arccos x.
В самом деле, по определению 0 ? arccos х ? ?. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем -? ? arcсos х ? 0. Прибавляя ? ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0 ? ? - arccos х ? ?. Таким образом, значения углов arccos(-х) и ?-arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может ?/p>