Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
я по представленному материалу. Но и ученики могут воспользоваться данной работой при самостоятельном изучении обратных тригонометрических функций, в этом им поможет разработанная обучающе-контролирующая программа. Выпускная квалификационная работа может использоваться студентами педагогических вузов при изучении таких дисциплин как Элементарная математика и практикум по решению математических задач, Теория и методика обучения математике, а также при подготовке к педагогической практике.
1. Основные теоретические положения
1.1 Общетеоретические основы темы Обратные тригонометрические функции
Вспомним общее определение функции. Предположим, что E(f)=Y и соотношение, осуществляемое функцией f, является взаимно однозначным, то есть каждому соответствует единственный. В этом случае обратное соотношение между Y и X также является функцией с областью определения Y и множеством значений X. Эта функция называется обратной к функции f и обозначается f -1. Отметим, что D(f)=E(f -1)=X; E(f)=D(f -1)=Y.
x1 y1
x2 y2
x3 y3
Рис. 1
Итак, функция имеет обратную, если она осуществляет взаимно однозначное соответствие между D(f) и E(f) [5].
Функция, ставящая в соответствие каждому ученику класса его год рождения, вряд ли имеет обратную, так как в классе, как правило, всегда есть ученики, родившиеся в одном и том же году. Обратная функция существует, если все ученики имеют различные года рождения. Это может быть, например, в том случае, когда в классе всего 3 ученика, один из которых родился в 85, 86, 87 гг. Для городских школ это невозможно.
Вернемся к числовым функциям. Функция y=x3 осуществляет взаимно однозначное соответствие между областью определения D(f)=R и множеством значений E(f)=R. Поэтому существует обратная функция f -1 с областью определения D(f -1)=R и множеством значений E(f -1)=R. Для явной записи обратной функции решим уравнение. Получим . В этой записи аргумент обратной функции обозначен через y, значение функции - через x. Мы привыкли к другой записи, поэтому переобозначим х и y, получим явную запись обратной функции в виде . Графики исходной функции y=f(x) и обратной функции y=f-1(x) симметричны относительно прямой y=x - биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов [5].
Функция y=x2 не имеет обратной функции на всей области определения D(f)=R, так как не существует взаимно однозначного соответствия между D(f) и E(f)=. Но если ограничить область определения этой функции множеством D(f)= , то в этом случае соответствие между D(f) и E(f)= = будет взаимно однозначным, и существует обратная функция f -1 c областью определения D(f -1)= и множеством значений E(f -1)= . Для записи обратной функции решим уравнение y=x2 при условии х?0. Получим (арифметическое значение корня), то есть обратная функция задается формулой[5].
Соотношение x=sin y позволяет с помощью таблиц найти как x по данной величине y, так и y по данной величине x (не превышающей единицы по абсолютной величине). Таким образом, можно считать не только синус функцией угла, но и угол функцией синуса. Этот факт находит внешнее выражение в записи y= (arcsin читается арксинус). Например, вместо1/2=sin 30 можно написать 30=arcsin (1/2). Обычно при второй записи угол выражается в радианной, а не в градусной мере, так что пишут ?/6= arcsin (1/2).
Хотя эта запись представляет лишь пересказ записи 1/2=sin ?/6, но учащимся она на первых порах доставляет затруднения. Между тем учащийся не видит трудности, когда наряду с соотношением 23 =8 пишет 2=. Это происходит потому, что извлечение корня совершается по одним правилам, а возведение в степень по другим, и учащийся привыкает видеть здесь 2 разных действия. Нахождение же синуса по углу и угла по синусу совершаются по одним и тем же таблицам, в которых к тому же выделено название синус, а арксинус не упоминается. Поэтому никакого особого действия, результатом которого был бы арксинус, учащийся не усматривает; и вообще в пределах элементарной математики, введение этого понятия по существу не оправдывается. В высшей же математике арксинус часто появляется как необходимый результат некоторого действия (интегрирования), и именно здесь возникло понятие арксинуса и его обозначение.
Функции arcsin x, arccos x и т.д. обратны функциям sin x, cos x и т.д. (подобно тому как функция обратна функции , поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями (иначе круговыми). Все обратные тригонометрические функции многозначны, т.е. для каждой из них справедливо следующее: одному значению x соответствует множество (бесчисленное) значений функции (так как бесчисленно множество углов, например ?, 180 - ?, 360+ ? имеют один и тот же синус).
Главным значением arcsin x называется то его значение, которое заключено между - ?/2 (-90) и ?/2 (+ 90). Так, главное значение arcsin есть, главное значение arcsin есть . Главным значением arccos x называется то его значение, которое заключено между 0 и ? (+180). Так, главное значение arccos есть, главное значение arccos есть .
Главные значения arctg x и arcsec x (как и arccos x) cодержатся между 0 и ?. Главные значения arctg x и arcsec x (так же как и arcsin x) находятся между -?/2 и ?/2.
Главные значения: arctg (-1) = -?/4, arсctg = ?/6, arcsec (-2)= 2?/3.
Если через Arcsin x, Arccos x и т.д. обозначим любое из значений соответствующих обратных тригонометрических функций, а для главных значений сохранить обозначе?/p>