Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?ия arcsin x, arccos x и т.д., то связь между значениями обратной тригонометрической функции и ее главным значением представится следующими формулами:
Arcsin x = k?+(-1)k arcsin x,x=2k?arccos x,x= k?+ arctg x,x= k?+arcctg x,
где k - любое целое число (положительное, отрицательное или нуль) [5].
1.2 Функция, обратная косинусу
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x [2].
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку ; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ??.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи .
Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от ? до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке ); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= ?, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x [4].
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = ?-arccos x.
В самом деле, по определению 0 ? arcсos х ? ?. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - ? ? arcсos х ? 0. Прибавляя ? ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? ?-arccos х ? ?.
Таким образом, значения углов arccos(-х) и ? - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и ?-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (? - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
1.3 Функция, обратная синусу
Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-?/2;?/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- ?/2; ?/2] определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6
Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а [4].
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-?/2; ?/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -?/2 ? arcsin а ? ?/2. Например, , так как sin и [- ?/2; ?/2]; arcsin , так как sin = и [- ?/2; ?/2].
Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-?/2;?/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -?/2 до ?/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-?/2; ?/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = ?/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -?/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 [4].
Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].
Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - ?/2 ? arcsin x ? ? ?/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- ?/2; ?/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-?/2; ?/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.
Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-?/2; ?/2].
Действительно, по определению -?/2 ? arcsin (sin x) ? ?/2, а по условию -?/2 ? x ? ?/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. [5].
Рис. 7
Рис. 8
График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-p/4|) получается из него сдвигом на p/4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)
1.4 Функция, обратная тангенсу
Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x [4].
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка , тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? ?.
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) [4].
Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.
Рис. 9
График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).
Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.
&nb