Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

?лад Вирішити аналітично й графічно рівняння

 

Аналітичне рішення

Перетворимо рівняння, помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можна вносити під знак модуля, тому одержимо:

 

 

У кожного із тричленів позитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійні множники.

Рівняння прийме вид: .

На числовій прямій відкладемо крапки, у яких кожний із множників звертається в нуль. У результаті одержимо пять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем і вирішимо отримані рівняння.

Однак такий спосіб не буде раціональним. Доцільніше зобразити проміжки кожного із тричленів на числових осях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більше наочним

При такому схематичному зображенні зрозуміло, що:

1) при обидва тричлени позитивні й рівняння прийме вид:

 

 

Вирішуючи його, знаходимо , . Обидва корені не входять у проміжок і є сторонніми;

2) при перший тричлен негативний, а другий позитивний, одержимо рівняння: звідки знаходимо корінь , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

3) при обидва тричлени негативні, одержуємо:

, звідки , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

4) при перший тричлен позитивний, другий --- негативний, одержуємо рівняння:

, звідси , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;

5) при обидва тричлени позитивні, виходить така ж ситуація, як і в першому випадку. І тут, обидва корені , не входять у проміжок і є сторонніми.

Відповідь. , , .

Графічне рішення

Для графічного рішення перетворимо рівняння:

 

 

Побудуємо графіки функцій

 

і

 

Графік функції

 

 

будемо будувати в кілька етапів:

а) будуємо графік функції

 

;

 

б) будуємо графік функції

 

, `

 

дзеркально відбивши нижню частину кривої

 

в осі ;

 

в) будуємо графік функції

 

 

для цього досить графік функції ``опустити долілиць (здійснити паралельний перенос уздовж осі ) на ;

г) отриманий графік повністю симетрично відібємо в осі , ``перевернемо навколо осі на .

У результаті одержимо графік функції

 

.

Графік функції

 

 

побудуємо вже відомим способом: будуємо параболу й дзеркально відбиваємо в осі тільки частина параболи, що перебуває нижче осі .

Знаходимо абсциси крапок перетинання графіків, які й будуть рішеннями рівняння

Абсциси крапок перетинання наступні: 1,75; 2,5 і 3,25. Вони й будуть рішеннями рівняння.

Приклад Вирішите рівняння .

Рішення. Вирішувати будемо це рівняння послідовне ``розкриваючи модулі, починаючи з ``зовнішнього і ``наближаючись до змінного .

Після розкриття першого модуля, одержимо сукупність двох рівнянь:

 

(1) або (2) .

 

Вирішуючи рівняння (1), у свою чергу, одержуємо два рівняння:

,

 

(3) або (4) .

 

З рівняння (3) знаходимо: , з рівняння (4) знаходимо: ,

Вирішуючи рівняння (2), також одержимо: , що розпадається два рівняння:

( ) або ( ) .

 

З ( ) одержуємо:

 

, , З ( ) , що не має рішень.

 

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння:

 

 

Рішення. ОДЗ даного рівняння:

 

 

Простою перевіркою неважко переконатися, що й --- рішення даного рівняння.

Відповідь. .

Якщо вирішувати рівняння шляхом піднесення у квадрати обох його частин, то вийде рівняння

 

 

У цього рівняння додасться ``зайвий корінь , що не належить ОДЗ.

Перетворення , не рівносильне, тому що входить в ОДЗ вихідного вираження, але не входить в ОДЗ перетвореного.

Нюанс полягає в тому, що при функція існує й при , тому що на що нуль не множ --- буде нуль.

Приклад Вирішити рівняння .

Рішення. Почнемо розкривати внутрішній модуль (розкриття зовнішнього модуля займе набагато більше часу):

1. При маємо .

Тепер розглянемо два випадки:

 

а) , тобто ;

б) і

 

Так як функція, що стає в першій частині вихідного рівняння, --- парна, то рішенням так само буде й .

Відповідь. .

Приклад Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння

 

 

Рішення. Розглянемо вираження

 

 

і перетворимо його до виду

 

Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (тому що ). Перетворимо отримане вираження, за умови . Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:

 

 

Відповідь. .

Приклад Всі значення квадратного тричлена на відрізку по модулі не перевершують 1. Яке найбільше значення при цьому може мати величина ?

Відповідь. Максимальне значення величини дорівнює 17.

Доведемо це. Спочатку доведемо, що ця величина не може бути більше 17. Тому що значення тричлена на відрізку по модулі не перевершують одиниці, те, , , тобто , , . Тому що модуль суми не перевершує суми модулів, те

 

 

Отже, . Залишилося помітити, що квадратний тричлен задовольняє умові задачі й для нього величина дорівнює 17.

Приклад Знайдіть найбільше ціле значення параметра , при якому рівняння не має рішень.

Рішення. Вихідне рівняння рівносильне рівнянню

 

 

Друга система має рішення тільки при (при ?/p>