Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?лад Вирішити аналітично й графічно рівняння
Аналітичне рішення
Перетворимо рівняння, помноживши обидві його частини на 2, будучи позитивним числом, його можна вносити під знак модуля, тому одержимо:
У кожного із тричленів позитивні дискримінанти. Це дає можливість розкласти кожний з них на лінійні множники.
Рівняння прийме вид: .
На числовій прямій відкладемо крапки, у яких кожний із множників звертається в нуль. У результаті одержимо пять проміжків, на кожному з яких визначимо знаки тричленів під модулем і вирішимо отримані рівняння.
Однак такий спосіб не буде раціональним. Доцільніше зобразити проміжки кожного із тричленів на числових осях. Тоді визначення їхніх знаків буде спрощене й зробиться більше наочним
При такому схематичному зображенні зрозуміло, що:
1) при обидва тричлени позитивні й рівняння прийме вид:
Вирішуючи його, знаходимо , . Обидва корені не входять у проміжок і є сторонніми;
2) при перший тричлен негативний, а другий позитивний, одержимо рівняння: звідки знаходимо корінь , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;
3) при обидва тричлени негативні, одержуємо:
, звідки , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;
4) при перший тричлен позитивний, другий --- негативний, одержуємо рівняння:
, звідси , що входить у проміжок і є рішенням рівняння;
5) при обидва тричлени позитивні, виходить така ж ситуація, як і в першому випадку. І тут, обидва корені , не входять у проміжок і є сторонніми.
Відповідь. , , .
Графічне рішення
Для графічного рішення перетворимо рівняння:
Побудуємо графіки функцій
і
Графік функції
будемо будувати в кілька етапів:
а) будуємо графік функції
;
б) будуємо графік функції
, `
дзеркально відбивши нижню частину кривої
в осі ;
в) будуємо графік функції
для цього досить графік функції ``опустити долілиць (здійснити паралельний перенос уздовж осі ) на ;
г) отриманий графік повністю симетрично відібємо в осі , ``перевернемо навколо осі на .
У результаті одержимо графік функції
.
Графік функції
побудуємо вже відомим способом: будуємо параболу й дзеркально відбиваємо в осі тільки частина параболи, що перебуває нижче осі .
Знаходимо абсциси крапок перетинання графіків, які й будуть рішеннями рівняння
Абсциси крапок перетинання наступні: 1,75; 2,5 і 3,25. Вони й будуть рішеннями рівняння.
Приклад Вирішите рівняння .
Рішення. Вирішувати будемо це рівняння послідовне ``розкриваючи модулі, починаючи з ``зовнішнього і ``наближаючись до змінного .
Після розкриття першого модуля, одержимо сукупність двох рівнянь:
(1) або (2) .
Вирішуючи рівняння (1), у свою чергу, одержуємо два рівняння:
,
(3) або (4) .
З рівняння (3) знаходимо: , з рівняння (4) знаходимо: ,
Вирішуючи рівняння (2), також одержимо: , що розпадається два рівняння:
( ) або ( ) .
З ( ) одержуємо:
, , З ( ) , що не має рішень.
Відповідь.
Приклад Вирішити рівняння:
Рішення. ОДЗ даного рівняння:
Простою перевіркою неважко переконатися, що й --- рішення даного рівняння.
Відповідь. .
Якщо вирішувати рівняння шляхом піднесення у квадрати обох його частин, то вийде рівняння
У цього рівняння додасться ``зайвий корінь , що не належить ОДЗ.
Перетворення , не рівносильне, тому що входить в ОДЗ вихідного вираження, але не входить в ОДЗ перетвореного.
Нюанс полягає в тому, що при функція існує й при , тому що на що нуль не множ --- буде нуль.
Приклад Вирішити рівняння .
Рішення. Почнемо розкривати внутрішній модуль (розкриття зовнішнього модуля займе набагато більше часу):
1. При маємо .
Тепер розглянемо два випадки:
а) , тобто ;
б) і
Так як функція, що стає в першій частині вихідного рівняння, --- парна, то рішенням так само буде й .
Відповідь. .
Приклад Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння
Рішення. Розглянемо вираження
і перетворимо його до виду
Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (тому що ). Перетворимо отримане вираження, за умови . Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:
Відповідь. .
Приклад Всі значення квадратного тричлена на відрізку по модулі не перевершують 1. Яке найбільше значення при цьому може мати величина ?
Відповідь. Максимальне значення величини дорівнює 17.
Доведемо це. Спочатку доведемо, що ця величина не може бути більше 17. Тому що значення тричлена на відрізку по модулі не перевершують одиниці, те, , , тобто , , . Тому що модуль суми не перевершує суми модулів, те
Отже, . Залишилося помітити, що квадратний тричлен задовольняє умові задачі й для нього величина дорівнює 17.
Приклад Знайдіть найбільше ціле значення параметра , при якому рівняння не має рішень.
Рішення. Вихідне рівняння рівносильне рівнянню
Друга система має рішення тільки при (при ?/p>