Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Теорема Абсолютна величина будь-якого дійсного числа дорівнює арифметичному квадратному кореню з : .
Справді, якщо , те, по визначенню модуля числа, будемо мати . З іншого боку, при , , значить .
Якщо , тоді й і в цьому випадку .
Ця теорема дає можливість при рішенні деяких задач заміняти на .
Геометрично означає відстань на координатній прямій від крапки, що зображує число , до початку відліку.
Якщо , то на координатній прямій існує дві крапки й , рівновіддаленої від нуля, модулі яких рівні.
Якщо , то на координатній прямій зображується крапкою .
Властивості модуля
Із цієї властивості треба, що
; .
Рівносильні переходи між рівняннями з модулями
Тема ``Абсолютна величина (або ``Модуль числа) є найбільш експлуатованою в практиці вступних іспитів. Імовірно, це пояснюється відчуттям простоти поняття абсолютної величини числа й тією обставиною, що, використовуючи модуль, будь-яку систему й сукупність рівнянь і нерівностей з однієї й тією же областю визначення можна представити у вигляді одного рівносильного порівняння.
Подивимося, на прикладі, як система однієї нерівності й сукупність двох нерівностей перетвориться до одного рівносильного рівняння.
В основі зазначених перетворень лежать наступні легко доказувані твердження:
Варіант приведення одного відношення до рівносильному йому відношенню іншого типу
<>
Лінійні сплайни
Нехай задані --- крапки зміни формул. Функція , певна при всіх , називається кусочно-лінійно, якщо вона лінійна на кожному інтервалі , , , ..., , тобто
де позначено , .
Якщо до того ж виконані умови узгодження
те розглянута кусочно-лінійно функція безперервна. Безперервна кусочно-лінійно функція називається також лінійним сплайном.
Функцію із графіком, показаним на цьому малюнку, можна задати й однієї й трьома формулами:
Однак неважко помітити, що цю же функцію можна задати й одною формулою, використовуючи модулі: . Виявляється, що й будь-яку безперервну кусочно-лінійну функцію виду (1) можна задати деякою формулою виду
де числа , , , ..., легко знайти за графіком даної функції.
Помітимо, що дві ламані з нескінченними крайніми ланками й однаковими абсцисами вершин , , ..., збігаються, якщо в них рівні кутові коефіцієнти всіх ``однойменних ланок і є загальна крапка. Іншими словами, знання кутових коефіцієнтів всіх ланок і координат однієї крапки такий ламаної на основі зазначеної інформації, при якому дана крапка береться за вихідну.
Відзначений факт ми й покладемо в основу одержання формули для безперервної кусочно-лінійної функції, заданої своїм графіком. Нагадаємо, що рівняється , якщо , і , якщо . Тому на кожному із проміжків , , ..., , на які числова пряма розбивається крапками, функція, обумовлена формулою ( ), буде лінійна (як сума лінійних функцій), і для знаходження кутового коефіцієнта відповідної ланки ламаної досить знайти коефіцієнт при послу розкриття всіх модулів у вираженні ( ) на відповідним цим ланкам проміжках, знаходимо:
Віднімаючи із другої рівності перше, одержуємо віднімаючи із третього друге, одержуємо й т.д. Ми приходимо в підсумку до співвідношень
Складаючи першу рівність із останнім, одержуємо звідки
Обернено, неважко перевірити, що з рівностей (3) і ( ) випливають співвідношення ( ).
Отже, якщо коефіцієнти визначаються формулами (3) і ( ), те кутові коефіцієнти всіх ланок графіка функції ( ) збігаються з відповідними кутовими коефіцієнтами заданого графіка й, виходить, залишається забезпечити всього одну загальну крапку цих ламаних для їхнього збігу.
Цього завжди можна домогтися вибором підходящого значення що залишилося поки не певним коефіцієнта . Із цією метою досить підставити у формулу ( ), коефіцієнти якої вже обчислені зі співвідношень (3) і ( ), координати якої-небудь однієї крапки даної ламаної й знайти з отриманої рівності.
Приклад Знайдемо рівняння ламаної, зображеної на малюнку (трикутний імпульс).pics/ex3.eps
Рішення. Кутові коефіцієнти ланок такі:
, , , . Тому .
Виходить, рівняння даної ламаної має вигляд
Знайдемо значення коефіцієнта з умови , підставляючи координати вершини (0; 1) нашої ламаної в рівняння, одержимо , звідки знаходимо, , і рівняння остаточно запишемо у вигляді
Приклади рішення задач, що використовують властивості модуля
Приклад У деякому лісі відстань між будь-якими двома деревами не перевершує різниці їхніх висот. Усе дерева мають висоту менше 100 м. Доведіть, що цей ліс можна огородити забором довжиною 200 м.
Рішення. Нехай дерева висотою ростуть у крапках . Тоді за умовою
.
Отже, довжина ламаної не перевершує м. Цю ламану можна огородити забором, довжина якого не перевершує 200 м.
Приклад На відрізку числової осі розташовані чотири крапки: , , , . Доведіть, що крапка , що належить , така, що
.
Рішення. Крапки , , , ділять відрізок не більше ніж на пять частин; хоча б одна із цих частин є інтервалом довжини не менше . Візьмемо за центр цього інтервалу. Відстань від