Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

дорівнює сумі відстаней від крапки до крапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней від будь-якої крапки до крапок і не менше довжини відрізка (і рівність досягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку ). Звідси одержуємо, що не менше 4, а не менше 2 при кожному . Тому для того, щоб сума була дорівнює , необхідно, щоб . Отже, необхідно дорівнює . Легко перевірити, що значення дійсно є рішенням даного рівняння.

Відповідь. .

Приклад Гальперин Г.О. Позитивні числа , , і такі, що система рівнянь

 

 

має рішень, а система рівнянь

 

 

має рішень. Відомо, що . Знайдіть і .

Рішення. Перше рівняння є рівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двох перших рівнянь залежно від і або не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже, може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осях координат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від і або не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже, може рівнятися або 0, або 6, або 8, або . Умові задовольняє тільки варіант , .

Відповідь. , .

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості ще одного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету Спбгу:

Приклад Даний функція: .

а) Вирішите рівняння ;

б) Вирішите нерівність ;

в) Знайдіть кількість рішень рівняння залежно від значень параметра .

Рішення. Побудуємо графік функції . Для цього помітимо, що , а тоді ми можемо спочатку побудувати графіка функції , і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираження, що задає функцію :

 

 

Оскільки дана система визначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідної функції являє собою обєднання двох півкіл (див. мал. ).

 

Тепер рішення задач не представляє праці:

а) Корінь рівняння є абсциса крапки перетинання прямій із графіком функції . Знайдемо неї геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює ), його гіпотенуза є радіус окружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є , а шукана абсциса дорівнює .

б) Нерівність виконана при всіх з відрізка .

в) При , рішень ні, при рівняння має три рішення, при --- чотири рішення, при --- два рішення.

Рішення рівнянь із використанням тотожності

Приклад Вирішити рівняння

 

 

Рішення. Двічі застосовуючи тотожність , одержимо рівняння

 

 

рішенням якого є інтервал .

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння

 

 

Рішення.

 

Відповідь. .

 

Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь

Сформулюємо теорему, зручну при рішенні нерівностей, щодо добутків або приватних різниць модулів:

Теорема Знак різниці модулів двох виражень збігається зі знаком різниці квадратів цих виражень.

Приклад Вирішити нерівність

 

 

Рішення. Скористаємося теоремою:

 

 

Використовуючи формулу різниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники й вирішимо отриману раціональну нерівність.

 

 

Відповідь.

 

Рішення рівнянь переходом до наслідку

 

Всі рівняння з модулями можуть бути вирішені в такий спосіб: розглянемо весь набір рівнянь, що може вийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо наслідки вихідного рівняння. Залишається тільки перевірити чи не придбали ми сторонніх корінь прямої їхньою підстановкою у вихідне рівняння.

Приклад Вирішимо рівняння

 

 

Рішення. Послідовно переходячи до наслідків, одержуємо:

 

 

Неважко переконається, що знайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь. ні рішення.

У випадку вкладених знаків модуля теж можна розглянути весь набір яких, що виходять при розкритті модуля рівнянь серед рішень, утримуються рішення вихідного рівняння, а потім відібрати із всіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.

Приклад Вирішите рівняння

 

 

Рішення. Всіх корінь вихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь

 

 

які можна переписати у вигляді

 

Аналогічно, кожне із цих рівнянь розпадається на два:

 

 

що приводить до чотирьох рівнянь:

 

 

Звідси одержуємо 4 рішення: , , , серед яких утримуються коріння вихідного рівняння. 1-й корінь, мабуть, задовольняє рівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, тому що права частина вихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, тому що цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні його права частина негативна.

Відповідь. 3.

Рішення рівнянь методом інтервалів

Застосування методу інтервалів засновано на наступної

Т?/p>