Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
дорівнює сумі відстаней від крапки до крапок з координатами 2, 1, 0, -1, -2. Помітимо, що сума відстаней від будь-якої крапки до крапок і не менше довжини відрізка (і рівність досягається тоді й тільки тоді, коли крапка розташована на відрізку ). Звідси одержуємо, що не менше 4, а не менше 2 при кожному . Тому для того, щоб сума була дорівнює , необхідно, щоб . Отже, необхідно дорівнює . Легко перевірити, що значення дійсно є рішенням даного рівняння.
Відповідь. .
Приклад Гальперин Г.О. Позитивні числа , , і такі, що система рівнянь
має рішень, а система рівнянь
має рішень. Відомо, що . Знайдіть і .
Рішення. Перше рівняння є рівняння окружності, другому задовольняють крапки квадрата із центром на початку координат і з діагоналями, що належать осям координат. Система із двох перших рівнянь залежно від і або не має рішень, або має чотири рішення, або вісім. Отже, може рівнятися або 0, або 4, або 8. Перше рівняння другої системи є рівняння сфери. Другому задовольняють крапки октаедра із центром на початку координат і з вершинами, що лежать на осях координат на рівних відстанях від центра. Ця система залежно від і або не має рішень, або має 6 рішень (вершини октаедра лежать на сфері), або має 8 рішень (сфера стосується граней октаедра), або має нескінченне число рішень (сфера перетинає грані октаедра по окружностях або декільком дугам окружностей). Отже, може рівнятися або 0, або 6, або 8, або . Умові задовольняє тільки варіант , .
Відповідь. , .
Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості ще одного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету Спбгу:
Приклад Даний функція: .
а) Вирішите рівняння ;
б) Вирішите нерівність ;
в) Знайдіть кількість рішень рівняння залежно від значень параметра .
Рішення. Побудуємо графік функції . Для цього помітимо, що , а тоді ми можемо спочатку побудувати графіка функції , і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираження, що задає функцію :
Оскільки дана система визначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідної функції являє собою обєднання двох півкіл (див. мал. ).
Тепер рішення задач не представляє праці:
а) Корінь рівняння є абсциса крапки перетинання прямій із графіком функції . Знайдемо неї геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює ), його гіпотенуза є радіус окружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є , а шукана абсциса дорівнює .
б) Нерівність виконана при всіх з відрізка .
в) При , рішень ні, при рівняння має три рішення, при --- чотири рішення, при --- два рішення.
Рішення рівнянь із використанням тотожності
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Двічі застосовуючи тотожність , одержимо рівняння
рішенням якого є інтервал .
Відповідь. .
Приклад Вирішити рівняння
Рішення.
Відповідь. .
Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь
Сформулюємо теорему, зручну при рішенні нерівностей, щодо добутків або приватних різниць модулів:
Теорема Знак різниці модулів двох виражень збігається зі знаком різниці квадратів цих виражень.
Приклад Вирішити нерівність
Рішення. Скористаємося теоремою:
Використовуючи формулу різниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники й вирішимо отриману раціональну нерівність.
Відповідь.
Рішення рівнянь переходом до наслідку
Всі рівняння з модулями можуть бути вирішені в такий спосіб: розглянемо весь набір рівнянь, що може вийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо наслідки вихідного рівняння. Залишається тільки перевірити чи не придбали ми сторонніх корінь прямої їхньою підстановкою у вихідне рівняння.
Приклад Вирішимо рівняння
Рішення. Послідовно переходячи до наслідків, одержуємо:
Неважко переконається, що знайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.
Відповідь. ні рішення.
У випадку вкладених знаків модуля теж можна розглянути весь набір яких, що виходять при розкритті модуля рівнянь серед рішень, утримуються рішення вихідного рівняння, а потім відібрати із всіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.
Приклад Вирішите рівняння
Рішення. Всіх корінь вихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь
які можна переписати у вигляді
Аналогічно, кожне із цих рівнянь розпадається на два:
що приводить до чотирьох рівнянь:
Звідси одержуємо 4 рішення: , , , серед яких утримуються коріння вихідного рівняння. 1-й корінь, мабуть, задовольняє рівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, тому що права частина вихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, тому що цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні його права частина негативна.
Відповідь. 3.
Рішення рівнянь методом інтервалів
Застосування методу інтервалів засновано на наступної
Т?/p>