Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µржить значення й ``вийде з під модуля зі знаком ``мінус: .
Рівняння на цьому проміжку вийде таким: , вирішуючи його, знаходимо: .
Зясовуємо, чи входить це значення в проміжок . Виявляється входить, значить є коренем рівняння.
2) При . Вибираємо будь-яке значення із цього проміжку. Нехай . Визначаємо знак кожного з виражень під модулем при цьому значенні . Виявляється, що вираження позитивно, а два інших негативні.
Рівняння на цьому проміжку прийме вид: . Вирішуючи його, знаходимо . Це значення не входить у проміжок , а виходить, не є коренем рівняння.
3) При . Вибираємо довільне значення із цього проміжку, скажемо, і підставляємо в кожне з виражень. Знаходимо, що вираження й позитивні, а --- негативно. Одержимо наступне рівняння: .
Після перетворення, одержимо: , а виходить, рівняння не має корінь на цьому проміжку.
4) При . Неважко встановити, що всі вираження на цьому проміжку позитивні, а значить одержимо рівняння: , , що входить у проміжок і є коренем рівняння.
Відповідь. , .
Приклад Вирішити рівняння
Рішення.
Відповідь. , .
Використання тотожності , при рішенні рівнянь
Зі сформульованої властивості модуля можна вивести два корисних наслідки:
Проілюструємо застосування першого з них для рішення задачі вступного іспиту в Санкт-Петербурзький державний університет.
Приклад Зобразити графік функції
Рішення. Перепишемо функцію, що задає, вираження, використовуючи перший наслідок:
.
Залишилося тільки побудувати графіки функцій , в одній системі координат і визначити ділянки, на яких один з них вище іншого (див. мал. ).
Використання другої тотожності зручно для побудови графіка функції
.
Рішення. У силу другої тотожності, вираження, яке задає функцію, записується у вигляді: .
Шуканий графік зображений на малюнку (див. мал. ).
Приклад Знайдіть максимальне значення вираження
де , , ..., --- різні натуральні числа від 1 до 1990.
Рішення. Помітимо, що модуль різниці двох ненегативних чисел не більше їхнього максимуму. Тому не більше, ніж , не більше, ніж , не більше, ніж . Далі, дане вираження не може рівнятися 1990, оскільки парність цього вираження збігається з парністю суми . Нарешті приведемо приклад, що показує, що значення вираження може рівнятися 1989:
Відповідь. 1989.
Рішення рівнянь утримуючі модулі ненегативних виражень
Приклад Чому дорівнює сума корінь рівняння (корінь, якщо він один) рівняння
Рішення. Розглянемо вираження
і перетворимо його до виду
Очевидно, що чисельник дробу при будь-яких значеннях змінної є позитивним числом. Значить дробове вираження позитивно, якщо (тому що ). Перетворимо отримане вираження, за умови . Одержимо рівняння, рівносильне вихідному:
Відповідь. .
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Оскільки ліва частина рівняння ненегативна, при всіх припустимих значеннях змінної, на множині корінь рівняння права його частина теж повинна бути ненегативної, звідси умову , на цьому проміжку знаменники обох дробів рівні, і залишається вирішити рівняння . Вирішуючи його й з огляду на обмеження , одержуємо
Відповідь. .
Приклад Вирішити рівняння:
Рішення. Неважко догадатися, що всі вираження, що коштують під знаками другого, третього й т.д. модулів, позитивні. І оскільки модуль позитивного вираження дорівнює самому цьому вираженню, одержимо
Відповідь. .
Рішення рівнянь із використанням геометричної інтерпретації
Геометричний зміст вираження --- довжина відрізка координатної осі, що зєднує крапки з абсцисами й . Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких викладень.
Приклад Вирішимо рівняння
.
Рішення. Будемо міркувати в такий спосіб: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої крапки з абсцисою до двох фіксованих крапок з абсцисами 1 і 2. Тоді всі крапки з абсцисами з відрізка мають необхідну властивість, а крапки, розташовані поза цим відрізком,--- немає.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо рівняння .
Рішення. Міркуючи аналогічно, одержимо, що різниця відстаней до крапок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для крапок, розташованих на координатній осі правіше числа 2.
Відповідь. .
Приклад Вирішити нерівність .
Рішення. Зобразимо на координатної прямої крапки, сума відстаней від яких до крапок і в точності дорівнює . Це всі крапки відрізка . Для всіх чисел поза даним відрізком сума відстаней буде більше двох.
Відповідь. .
Зауваження. Узагальненням рішення вищенаведених рівнянь є наступні рівносильні переходи:
Приклад Вирішите нерівність: .
Рішення. Вирішимо нерівність, використовуючи координатну пряму. Дана нерівність виконується для всіх крапок c координатою, які перебувають ближче до крапки з координатою , чим до крапки з координатою . Тому що , те шуканими є всі крапки, розташовані лівіше крапки з координатою .
Відповідь. .
Приклад Вирішите рівняння
.
Рішення. Розглянемо на числовій прямій крапку з координатою . Сума