Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

µорема Функція, безперервна на проміжку, зберігає на цьому проміжку свій знак.

Це означає, що нулі функції й границі проміжків її безперервності розділяють область визначення функції на ділянки, де вона зберігає постійний знак. Застосування методу пояснимо на прикладі.

Приклад Вирішимо нерівність

 

 

Нехай . Областю визначення даної функції є . Вирішуючи рівняння (див. ), одержимо, що функція не звертається в нуль ні при якому значенні змінної. Це означає, що на всій області визначення функція є знакопостійної. Обчислюючи, наприклад, , одержуємо, що функція приймає тільки позитивні значення.

Відповідь. .

Метод інтервалів дозволяє вирішувати більше складні рівняння й нерівності з модулями, але в цьому випадку він має трохи інше призначення. Суть складається в наступному. Знаходимо корінь всіх підмодульних виражень і розбиваємо числову вісь на проміжки цих виражень. Це дозволяє, послідовно перебираючи ці проміжки, одночасно позбуватися від всіх модулів і вирішувати звичайне рівняння або нерівність (перевіряючи при цьому, що знайдена відповідь входить у даний проміжок).

Рішення рівнянь домноження на позитивний множник

Приклад Вирішити нерівність

 

 

Рішення. Пастка полягає в тім, що в задачі є кілька модулів, розкривати які -і значить одержати, громіздке рішення.

Помножимо дріб на деяке вираження, що приймає лише позитивні значення й таке, щоб спростити вихідна нерівність:

 

 

Відповідь. .

 

Типові тестові задачі, що містять змінну під знаком модуля

Приклад Знайти корінь рівняння

 

.

 

Рішення. Тому що , те з рівняння треба, що , . Тоді вихідне рівняння прийме вид: , . Корінь цього рівняння

 

, .

 

Корінь , тому він не є рішенням, а .

Відповідь. .

 

Приклад Знайти добуток корінь рівняння .

Рішення. Позначимо , . Тоді вихідне рівняння прийме вид: . Корінь цього рівняння , . Тому що , те . Звідси , . Добуток корінь дорівнює .

Відповідь. .

Приклад Знайти різницю між найбільшими й найменшими коріннями рівняння .

Рішення. Позначимо , . Тоді вихідне рівняння прийме вид: . Вирішимо його. Корінь цього рівняння , . Тому що , те значення не підходить. Тому . Різниця між найбільшим і найменшим коренями рівняння дорівнює .

Відповідь. .

Приклад Знайти суму корінь рівняння .

Рішення. Використовуємо правило:

 

.

 

Вихідне рівняння запишемо у вигляді сукупності рівнянь:

 

 

У такий спосіб сума корінь вихідного рівняння дорівнює .

Інший шлях. Оскільки обидві частини рівняння ненегативні, зведемо рівняння у квадрат. Одержимо: , . Тому що дискримінант рівняння позитивний, то по теоремі Виета сума корінь дорівнює

Відповідь. .

Приклад Скільки цілих корінь на відрізку має рівняння

 

 

Рішення. Розглянемо квадратний тричлен . Тому що , те, тому вихідне рівняння запишеться як

 

 

Останнє рівняння еквівалентно нерівності , рішення якого . Таким чином, рівняння має 6 корінь на відрізку : , , , , , .

Відповідь. 6.

Приклад Яке найбільше кінцеве число корінь може мати рівняння

 

 

де , ,..., , , , ..., --- різні числа?

Рішення. Покладемо й перепишемо вихідне рівняння у вигляді .

Нехай --- всі числа із множини , упорядковані по зростанню. На кожному з 101 проміжку , ,..., , , функція лінійна. Помітимо, що на першому й останньому із цих проміжків і відповідно, при цьому , тому що кількість корінь звичайно.

Підемо по числовій осі ліворуч праворуч.

Спочатку кутовий коефіцієнт функції дорівнює 0. Щораз, коли ми проходимо одну із крапок , він за рахунок зміни знака при розкритті відповідного модуля змінюється на .

Таким чином, він завжди дорівнює парному цілому числу й не може поміняти знак, не звернувшись перед цим в 0.

Виходить, кутові коефіцієнти на будь-яких двох сусідніх проміжках або обоє ненегативні, або обоє непозитивні, тобто функція на обєднанні цих проміжків або неубутна, або незростаюча.

Стало бути, якщо число її корінь звичайно, те на кожному з 50 проміжків ,..., , вона має не більше одного кореня. Крім того, на крайніх інтервалах значення мають різні знаки, і в кожному корені знак функції міняється. Отже, кількість корінь парно й не перевищує 49.

Неважко перевірити, що якщо роль будуть грати числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль --- числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, , те рівняння буде мати рівно 49 корінь.

Відповідь. 49.

Приклад Вирішите систему нерівностей

 

Рішення. Припустимо, що дана система нерівностей має рішення , , , . Тоді, зокрема, , тобто

 

 

Аналогічно одержуємо

 

 

Перемножимо всі отримані нерівності. З одного боку, добуток чотирьох позитивних чисел позитивно. З іншого боку, цей добуток дорівнює -і-

 

 

Приходимо до протиріччя.

Відповідь. Система не має рішень.

Приклад чи Існують дійсні числа , і такі, що при всіх дійсних і виконується нерівність

 

 

Рішення. Припустимо, що такі числа , і існують. Виберемо й такі, що , , . Тоді різниця між лівою й правою частинами дорівнює . А якщо взяти й такі, що , , , те ця різниця буде дорівнює . Таким чином, з одного боку, , з іншої . Протиріччя.

Відповідь. Немає.

Приклад Скільки різних цілочисленних рішень має нерівність ?

Рішення. При натуральному рівняння має рівно цілочисленних рішень, а при рішення є?/p>