Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

до кінців цього інтервалу не менше , а до інших крапок із числа , , , --- більше . Тому два із чисел , , , не менше , а інші два строго більше . Так що всі зворотні величини не більше 10, а дві з них строго менше 10. Тоді сума зворотних величин менше 40, що й потрібно.

Приклад Два тіла починають одночасно рухатися рівномірно по прямих і , що перетинаються під прямим кутом. Перше тіло рухається зі швидкістю 3 км/год по прямій від крапки до крапки , що перебуває на відстані 2 км від крапки . Друге тіло рухається зі швидкістю 4 км/год по прямій від крапки до крапки , що перебуває на відстані 3 км від крапки . Знайти найменшу відстань (у км) між цими тілами під час руху.

Рішення. Через годин перше тіло буде перебуває від крапки на відстані км, а друге --- на відстані км. По теоремі Піфагора відстань між тілами складе.

км.

Відповідь. км.

Приклад Пункти й розташовані на прямолінійній магістралі в 9 км друг від друга. З пункту в напрямку пункту виходить автомашина, що рухається рівномірно зі швидкістю 40 км/ч. Одночасно з пункту в тім же напрямку з постійним прискоренням 32 км/год виходить мотоцикл. Знайти найбільшу відстань між машиною й мотоциклом у плині перших двох годин руху.

Рішення. Відстань між автомобілем і мотоциклом через годин складе

. .

Відповідь. 16 км.

Приклад З пункту в пункт вийшов пішохід. Не пізніше чим через 40 хв слідом за ним вийшов другий. Відомо, що в пункт один з них прийшов раніше іншого не менш, ніж на 1 годину. Якби пішоходи вийшли одночасно, то вони б прийшли в пункт із інтервалом не більш ніж в 20 хв. Визначити, скільки часу потрібно кожному пішоходу на шлях від до , якщо швидкість одного з них в 1,5 рази більше швидкості іншого.

Рішення. Нехай і (хв) --- час, витрачений відповідно до першим і другим пішоходом на шлях з в , і нехай другий пішохід вийшов пізніше першого на хвилин. Розглянь 2 можливості 1) і 2) . У випадку маємо рівність і систему

З першої й третьої нерівності одержимо , з огляду на другу умову одержимо, що , і це у свою чергу дає рівності й . , , .

У випадку маємо й систему

Але тому що , те система не сумісна, і, отже, випадок 2 не може мати місця.

Відповідь. , , .

Приклад За розкладом автобус повинен проходити шлях , що складається з відрізків , , довжиною 5, 1, 4 км відповідно, за 1 годину. При цьому виїжджаючи з пункту в 10 год, він проходить пункт в 10 год 10 хв, пункт в 10год 34 хв. З якою швидкістю повинен їхати автобус, щоб час за яке автобус проходить половину шляху від до (зі швидкістю ), складене із сумою абсолютних величин відхилення від розкладу при проходженні пунктів і , перевищувало абсолютну величину відхилення від розкладу при проходженні пункту не більш, ніж на 28 хв.

Рішення. Умова задачі приводить до системи

яка має єдине рішення .

Відповідь. 30 км/ч.

Приклад Відповідно до розкладу катер проходить по ріці, швидкість плину якої 5 км/год, шлях з у довжиною 15 км за 1 годину. При цьому виходячи з пункту в 12 год, він прибуває в пункти й , що відстоять від на відстань 11 км і 13 км відповідно, в 12 год 20 хв і в 12 год 40 хв. Відомо, що якби катер рухався з у без зупинок з постійною швидкістю (щодо води), те сума абсолютних величин відхилень від розкладу прибуття в пункти , , не перевищувало б зменшеного на півгодини часу, необхідного катеру для проходження 5 км зі швидкістю в стоячій воді. Який з пунктів перебуває вище за течією: або ?

Рішення. Розглянемо 2 випадки 1) пункт перебуває вище за течією 2) пункт перебуває нижче за течією.

У першому випадку одержуємо систему

яка не має рішення. Тоді виконується другий випадок.

Відповідь. .

Приклад Дані три квадратних тричлени: , і . Доведіть, що рівняння має не більше восьми корінь.

Рішення. Кожний корінь даного рівняння є коренем одного із квадратних тричленів , , з деяким набором знаків. Таких наборів 8, і всі вони дають дійсно квадратні тричлени, тому що коефіцієнт при має вигляд , тобто відмінний від нуля. Однак двом протилежним наборам знаків відповідають квадратні рівняння, що мають ті самі коріння. Виходить, всі рішення рівняння втримуються серед корінь чотирьох квадратних рівнянь. Отже, їх не більше восьми.

Приклад Шабат Г.Б. Нескінченна послідовність чисел визначається умовами: , причому . Доведіть, що послідовність, починаючи з деякого місця, періодична в тому випадку, якщо раціонально.

Рішення. Якщо , то . Дійсно, . Якщо раціональне, то раціональне, причому зі знаменником не більшим чим в . Дійсно, нехай --- нескоротний дріб. Тоді

Якщо цей дріб нескоротний, то її знаменник такої ж, як і в , якщо вона скоротна, те після скорочення знаменник зменшиться.

Отже, всі члени послідовності --- раціональні числа, укладені між 0 і 1, тобто правильні дроби. Але правильних дробів зі знаменниками, не більшими заданої величини , --- кінцеве число. Тому якісь члени послідовності повторяться, і із цього моменту послідовність буде періодичною.

Найпростіші рівняння й нерівності з модулем

До найпростішого (не обовязково простим) рівнянням ми будемо відносити рівняння, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:

Приклади рішення найпростіших рівнянь.

Приклад Вирішимо рівняння

Рішення.