Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?. .
Приклад Вирішимо рівняння
.
Рішення.
Відповідь. .
Зупинимося докладніше на рівняннях, у яких зустрічається сума модулів (формули -- ).
Теорема Сума модулів дорівнює алгебраїчній сумі підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли кожна величина має той знак, з яким вона входить в алгебраїчну суму.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Тому що , те ми маємо рівність виду , де , . Тому вихідне рівняння рівносильне системі:
Відповідь. .
Теорема Сума модулів дорівнює модулю алгебраїчної суми підмодульних величин тоді й тільки тоді, коли всі величини мають той знак, з яким вони входять в алгебраїчну суму, або всі величини мають протилежний знак одночасно.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Заганяємо коефіцієнти 2 і 5 під знак модуля й ізолюємо суму модулів:
По константах одержуємо . Дійсно, , тобто рівняння має вигляд . Отже, рівняння рівносильне сукупності двох систем:
тобто .
Відповідь. .
До найпростішого (не обовязково простим) нерівностям ми будемо відносити нерівності, розвязувані одним з нижчеподаних рівносильних переходів:
Приклади рішення найпростіших нерівностей.
Приклад Вирішимо нерівність .
Рішення.
.
Відповідь. .
Приклад Вирішимо нерівність
.
Рішення.
Відповідь. .
Як не дивно, але досить, щоб позбутися від знака модуля в будь-яких нерівностях.
Приклад Вирішити нерівність
Рішення.
Відповідь. .
Приклад Вирішити нерівність
Рішення. Щодо будь-якого модуля дана нерівність має вигляд . Тому перебравши всі комбінації знаків двох підмодульних виражень, маємо
Відповідь. .
Приклад При яких значеннях параметра нерівність
виконується при всіх значеннях ?
Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:
Виконання для всіх вихідної нерівності рівносильне виконанню для всіх нерівностей останньої системи. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричленів непозитивні:
Відповідь. .
Приклад Знайти всі значення параметра , при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності
максимально.
Рішення. Тому що
те вихідне рівняння рівносильне системі:
Оскільки обоє нерівності в системі лінійні відносно . Вирішимо систему відносно :
Умови існування параметра рівносильне вимозі
Нерівність повідомляє всі значення, які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа із проміжку , тобто
Природно, що для будь-якого цілого числа з набору треба зясувати, при яких значеннях параметра це число буде рішенням вихідної нерівності.
Оскільки вихідна нерівність рівносильна , те по черзі підставляючи числа з набору в нерівності , ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо
Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленних рішень, скористаємося ``розгорненням, отриманої інформації уздовж від параметра (див. мал. ):
Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли або .
Відповідь. .
Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння утримуючі параметри).
Побудова графіків виду
, і
Відзначимо правило побудови графіка функції .
1) Будуємо спочатку графік функції .
2) Там, де графік функції лежить вище осі або на ній, залишаємо його без зміни; крапки графіка, які лежать нижче осі , заміняємо симетричними їм щодо осі крапками.
Для приклада, на малюнку зображений графік функції
.
Для побудови графіка функції будуємо графік функції для й відображаємо симетрично щодо осі .
Для приклада, на малюнку зображений графік функції .
Для побудови графіка функції будуємо графік функції для й симетрично відображаємо щодо осі .
Для приклада, на малюнку зображений графік функції .
Приклад Побудувати графік функції .
Рішення. Скористаємося правилами перетворення графіків.
1. Графік функції --- бісектриса перших і третього координатних кутів.
2. Графік функції виходить із графіка функції відображенням його частини, розташованої нижче осі абсцис (при ) симетрично щодо осі абсцис.
3. Графік функції виходить із попереднім зрушенням уліво по осі абсцис на дві одиниці.
4. Отриманий графік зрушуємо по осі ординат на 3 одиниці долілиць. Одержуємо графік функції .
5. Частина його, розташовану нижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, одержуємо графік даної функції
Досліджувана функція допускає іншу форму запису
Приклад Залежно від параметра , знайти кількість рішень рівн