Рішення рівнянь й нерівностей з модулем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ине. Таким чином, кількість рішень вихідної нерівності дорівнює .
Відповідь. 19801.
Приклад Знайдіть всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має три різних корені; знайдіть цих корінь: .
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння у квадрат: .
Якщо , тоді одержимо рівняння:
Дискримінант цього рівняння дорівнює:
.
Рівняння (1) буде мати один корінь, при й . Два корені, при й .
Якщо , тоді одержимо рівняння:
Дискримінант цього рівняння дорівнює:
.
Рівняння (2) буде мати один корінь при й . Два корені --- при й .
Робимо висновок, що при рівняння (1) має один корінь, а рівняння (2) --- два корені. При , рівняння (1) має два корені, а рівняння (2) --- один.
Таким чином, при й дане рівняння має три корені.
Знайдемо цих корінь. При , перше рівняння прийме вид: . Воно має один корінь:
Рівняння (2) прикмет вид: яке має два корені: , .
При , рівняння (2) прикмет вид: . Воно має один корінь: .
Рівняння (1) при цьому стане: , що буде мати корінь: , .
Відповідь. При , , , .
При , , , .
Приклад Для кожного значення параметра визначите число рішень рівняння .
Рішення.
1. Якщо , тоді рівняння не має рішень, модуль будь-якого речовинного числа ненегативний.
2. Якщо , тоді одержимо рівняння . Це рівняння має два корені, тому що .
3. Якщо , тоді одержуємо сукупність двох рівнянь:
Перше рівняння має дискримінант: . Воно не буде мати корінь при , , але це неможливо, тому що . Також воно не може мати один корінь (тоді , що також неможливо). Таким чином, при рівняння (1) має два корені.
Друге рівняння має дискримінант:
.
Воно не буде мати корінь, якщо , , . Буде мати один корінь, якщо . Буде мати два корені, якщо .
Остаточно одержуємо.
Відповідь. Якщо , тоді рівняння не має корінь.
Якщо й , тоді рівняння має два корені.
Якщо , тоді рівняння має три корені.
Якщо , тоді рівняння має чотири корені.
Приклад Знайдіть всі значення параметра із проміжку , при кожному з яких більший з корінь рівняння приймає найбільше значення.
Рішення.
Перетворимо рівняння до виду
.
Виходить, якщо
, ,
тоді .
Знайдемо найбільше значення , при якому , тобто найбільше рішення нерівності
.
Перетворимо цю нерівність:
, , , , .
Останню нерівність вирішимо методом інтервалів, памятаючи, що .
Рішення нерівності буде множина: .
Ясно, що дріб
приймає найбільше значення при , тоді значення буде дорівнює:
.
Відповідь. При .
Приклад Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має єдине рішення.
Рішення.
Знайдемо рішення для кожного значення , а потім відберемо ті, які задовольняють умові задачі, тобто при яких рівняння має єдине рішення.
Для кожного фіксованого будемо шукати рішення даного рівняння спочатку на проміжку , а потім на проміжку , оскільки модуль звертається в нуль при :
1) Нехай . На цьому проміжку й тому дане рівняння прикмет вид .
Знайдемо дискримінант отриманого наведеного квадратного рівняння
, виходить, при будь-якому дійсному значенні рівняння має два різних дійсних корені: і .
Зясуємо, чи входять вони в проміжок . Корінь лежить у цій області тільки тоді, коли виконується нерівність: або .
Остання нерівність рівносильна системі нерівностей:
Остання система нерівностей не має рішень, виходить, ні при якому значенні параметра a число не лежить в області .
Корінь лежить у розглянутій області тоді, коли виконана нерівність: або .
Вирішимо останню нерівність. Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значення із проміжку .
При одержимо нерівність . Звідси знаходимо: .
Таким чином, при рівняння має єдине рішення .
2) Нехай . На цьому проміжку й тому вихідне рівняння можна переписати у вигляді . Знайдемо дискримінант цього рівняння: .
Рівняння не має рішень, якщо , тобто якщо .
Виходить, рівняння не має корінь для із проміжку .
Якщо не належать цьому проміжку, то квадратне рівняння має коріння , , причому при й . Зясуємо тепер, при яких значеннях параметра знайдених корінь лежать в області .
Для цього потрібно вирішити нерівності й .
Нерівність рівносильна нерівності або сукупності двох систем нерівностей:
Множина рішень першої системи має вигляд , друга система не має рішень. Виходить, тільки при значенні корінь рівняння лежить в області
Нерівність рівносильна нерівності або системі нерівностей
Множина рішень отриманої системи нерівностей є відрізок .
Тільки при цих значеннях параметра , корінь належить області: . Таким чином, при дане рівняння в області рішень не має.
Якщо , то рівняння в розглянутій області має єдине рішення .
При значеннях , що лежать в області вихідне рівняння має два різних корені й . Якщо ж , то вихідне рівняння має єдиний корінь . Отримані результати зручно звести в таблицю:
Таким чином, шукані значення утворять два проміжки: і .
Відповідь. , .
Приклад Знайти всіх корінь рівняння , що задовольняє нерівності .
Рішення. Будуємо графіки функцій і . Одержимо дві крапки перетинання, абсциса тільки однієї з них менше , тобто задовольняє умови задачі
Абсцису крапки можна одержати вирішивши рівняння .
Відповідь. .
При?/p>