Рішення рівнянь й нерівностей з модулем

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

?ине. Таким чином, кількість рішень вихідної нерівності дорівнює .

Відповідь. 19801.

Приклад Знайдіть всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має три різних корені; знайдіть цих корінь: .

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння у квадрат: .

Якщо , тоді одержимо рівняння:

 

 

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

 

.

 

Рівняння (1) буде мати один корінь, при й . Два корені, при й .

Якщо , тоді одержимо рівняння:

 

 

Дискримінант цього рівняння дорівнює:

 

.

Рівняння (2) буде мати один корінь при й . Два корені --- при й .

Робимо висновок, що при рівняння (1) має один корінь, а рівняння (2) --- два корені. При , рівняння (1) має два корені, а рівняння (2) --- один.

Таким чином, при й дане рівняння має три корені.

Знайдемо цих корінь. При , перше рівняння прийме вид: . Воно має один корінь:

Рівняння (2) прикмет вид: яке має два корені: , .

При , рівняння (2) прикмет вид: . Воно має один корінь: .

Рівняння (1) при цьому стане: , що буде мати корінь: , .

Відповідь. При , , , .

При , , , .

Приклад Для кожного значення параметра визначите число рішень рівняння .

Рішення.

1. Якщо , тоді рівняння не має рішень, модуль будь-якого речовинного числа ненегативний.

2. Якщо , тоді одержимо рівняння . Це рівняння має два корені, тому що .

3. Якщо , тоді одержуємо сукупність двох рівнянь:

 

Перше рівняння має дискримінант: . Воно не буде мати корінь при , , але це неможливо, тому що . Також воно не може мати один корінь (тоді , що також неможливо). Таким чином, при рівняння (1) має два корені.

Друге рівняння має дискримінант:

 

.

 

Воно не буде мати корінь, якщо , , . Буде мати один корінь, якщо . Буде мати два корені, якщо .

Остаточно одержуємо.

Відповідь. Якщо , тоді рівняння не має корінь.

Якщо й , тоді рівняння має два корені.

Якщо , тоді рівняння має три корені.

Якщо , тоді рівняння має чотири корені.

Приклад Знайдіть всі значення параметра із проміжку , при кожному з яких більший з корінь рівняння приймає найбільше значення.

Рішення.

Перетворимо рівняння до виду

 

.

 

Виходить, якщо

 

, ,

тоді .

 

Знайдемо найбільше значення , при якому , тобто найбільше рішення нерівності

 

.

 

Перетворимо цю нерівність:

 

, , , , .

 

Останню нерівність вирішимо методом інтервалів, памятаючи, що .

Рішення нерівності буде множина: .

Ясно, що дріб

 

 

приймає найбільше значення при , тоді значення буде дорівнює:

.

 

Відповідь. При .

Приклад Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має єдине рішення.

Рішення.

Знайдемо рішення для кожного значення , а потім відберемо ті, які задовольняють умові задачі, тобто при яких рівняння має єдине рішення.

Для кожного фіксованого будемо шукати рішення даного рівняння спочатку на проміжку , а потім на проміжку , оскільки модуль звертається в нуль при :

1) Нехай . На цьому проміжку й тому дане рівняння прикмет вид .

Знайдемо дискримінант отриманого наведеного квадратного рівняння

, виходить, при будь-якому дійсному значенні рівняння має два різних дійсних корені: і .

Зясуємо, чи входять вони в проміжок . Корінь лежить у цій області тільки тоді, коли виконується нерівність: або .

Остання нерівність рівносильна системі нерівностей:

 

 

Остання система нерівностей не має рішень, виходить, ні при якому значенні параметра a число не лежить в області .

Корінь лежить у розглянутій області тоді, коли виконана нерівність: або .

Вирішимо останню нерівність. Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значення із проміжку .

При одержимо нерівність . Звідси знаходимо: .

Таким чином, при рівняння має єдине рішення .

2) Нехай . На цьому проміжку й тому вихідне рівняння можна переписати у вигляді . Знайдемо дискримінант цього рівняння: .

Рівняння не має рішень, якщо , тобто якщо .

Виходить, рівняння не має корінь для із проміжку .

Якщо не належать цьому проміжку, то квадратне рівняння має коріння , , причому при й . Зясуємо тепер, при яких значеннях параметра знайдених корінь лежать в області .

Для цього потрібно вирішити нерівності й .

Нерівність рівносильна нерівності або сукупності двох систем нерівностей:

 

Множина рішень першої системи має вигляд , друга система не має рішень. Виходить, тільки при значенні корінь рівняння лежить в області

Нерівність рівносильна нерівності або системі нерівностей

 

 

Множина рішень отриманої системи нерівностей є відрізок .

Тільки при цих значеннях параметра , корінь належить області: . Таким чином, при дане рівняння в області рішень не має.

Якщо , то рівняння в розглянутій області має єдине рішення .

При значеннях , що лежать в області вихідне рівняння має два різних корені й . Якщо ж , то вихідне рівняння має єдиний корінь . Отримані результати зручно звести в таблицю:

 

Таким чином, шукані значення утворять два проміжки: і .

Відповідь. , .

 

Приклад Знайти всіх корінь рівняння , що задовольняє нерівності .

 

Рішення. Будуємо графіки функцій і . Одержимо дві крапки перетинання, абсциса тільки однієї з них менше , тобто задовольняє умови задачі

Абсцису крапки можна одержати вирішивши рівняння .

Відповідь. .

При?/p>