Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
спектральными свойствами), а традиционные (конечно-разностные) методы - лишь при малых значениях , то можно утверждать, что в большинстве практически важных случаев, встречающихся при решении задач оценивания, может быть достигнута более высокая устойчивость к указанным ошибкам. Очевидно, что чем лучше спектральные свойства функции ?(t) (уже ее спектр), тем больше ?t, и, следовательно, меньшие значения дисперсии
По аналогии с [2] в качестве величины, характеризующей суммарную ошибку алгоритма N-кратного дифференцирования, основанного на применении ряда Котельникова, можно взять сумму квадратов максимальной случайной ошибки и методической ошибки :
(2.53)
где
Поскольку за счет рационального выбора параметров методическая ошибка может быть сведена к сколь угодно малой величине, то очевидно, что результирующая ошибка N-кратного дифференцирования будет в основном определяться величиной .
Для снижения влияния случайных ошибок задания отсчетов на точность дифференцирования можно воспользоваться алгоритмом взвешенного суммирования единичных оценок. Очевидно, что для получения совокупности некоррелированных единичных оценок с помощью алгоритма (2.22), (2.23) необходимо на интервале [-Т, Т] задавать семейство сеток интерполяции, не имеющих общих узлов.
Рассмотрим следующий иллюстративный пример. Пусть требуется оценить радиальную скорость изменения дальности где а и b - некоторые константы. Данная формула соответствует движению летательного аппарата на постоянной высоте и с постоянной скоростью. Интервал отсчетов 2Т = 16 (здесь и далее все величины полагаем безразмерными), а = 104, b = 2,5тАв102, ошибки , взаимно не коррелированы, распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . В качестве функции-регуляризатора использована функция вида
Рисунок 2.12
Проведенный анализ показал, что для обеспечения абсолютной методической погрешности вычисления искомых производных радиальной дальности R(t) на основе разработанного алгоритма (2.23) достаточно выбрать шаг ?t = 0,8. При расчетах же методом скользящего дифференцирования необходим шаг ?t = 0,1.
На рис. 2.12 изображены графики, иллюстрирующие зависимость относительной погрешности вычислений от :
Анализ графиков для различных значений ?2 показывает, что метод N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова обеспечивает высокую точность косвенного оценивания локальных характеристик движения летательного аппарата при достаточно малых объемах сетки интерполяции. При этом наивысшая точность достигается в середине интервала [-Т, Т]. При аналогичном расчете для метода скользящего среднего при тех же исходных данных видно, что вычислительная процедура уже при ?2 = 1,5 становится неустойчивой.
О преимуществах рассмотренного в разделе 2 математического аппарата свидетельствует также анализ единичных дисперсий ошибок оценивания величин Для метода скользящего дифференцирования (при заданном уровне методической погрешности)
а для подхода, основанного на применении ряда Котельникова,
Используя исходные данные иллюстративного примера убеждаемся, что применение ряда Котельникова позволило снизить дисперсию ошибки оценивания радиальной скорости в 19,5 раза.
Следует отметить, что полученные в иллюстративном примере оценки являются единичными. Дальнейшее повышение точности может быть достигнуто путем оптимальной статистической обработки семейства единичных замеров.
3 Метод оценивания числовых характеристик полезных сигналов на фоне сингулярных помех в классе функций с финитным спектром
.1 Общие положения
В настоящем разделе в классе функций с финитным спектром разработан метод оптимального вычисления операторов - кратного дифференцирования, позволяющий формировать несмещенные значения соответствующих производных, инвариантные к сингулярным погрешностям входных данных. Получены оценки сверху на методическую и флуктуационную погрешности вычислений. Дан иллюстративный пример.
При решении широкого круга математических и прикладных задач зачастую возникает необходимость - кратного дифференцирования функций, заданных на некоторой системе точек [4, 5, 12].
В работе [4], с использованием интерполяционной формулы Котельникова развит математический аппарат - кратного дифференцирования в классе функций с финитным спектром, получены оценки сверху на соответствующие погрешности вычислений. Однако в [4] отсчеты значений дифференцируемых функций полагались известными точно. Вместе с тем, на практике вычислительный процесс всегда сопровождается ошибками, при этом результирующая погрешность входных данных в общем случае содержит как случайную, так и сингулярную составляющие. Известно, что оптимальное решение данной задачи можно получить в рамках метода наименьших квадратов (МНК). Однако непосредственное применение последнего зачастую приводит к решению задач высокой размерности либо к получению смещенных оценок из-за наличия сингулярных погрешностей.
С учетом вышесказанного вполне правомерно поставить вопрос о развитии полученных ранее результатов и разработке универсального метода оптимального оценивания значений операторов - кратного дифференцирования, позволяющего формировать несмещенные оценки соответствующих производных, устойчивые к сингулярным погрешностям входных данных. Требование устойчив