Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
иваемого класса достаточно знать лишь отсчеты fk, и в классе эта интерполяционная задача имеет единственное решение.
.2 Аппроксимация функций с финитным спектром
Рассмотрим теперь возможность аппроксимации с заданной точностью
? > 0 на отрезке [0, T] функции при помощи конечного числа членов ряда Котельникова (2.3). Очевидно, что такая возможность существует, поскольку ряд (2.3) сходится равномерно в каждой ограниченной области. Таким образом, для каждого отрезка [0, T] и заданного ? > 0 можно указать такие числа i и т, что при 0 ? t ? T будет выполняться неравенство
(2.9)
Однако длительность m?t интервала времени, на котором в данном случае берутся отсчеты, может значительно превосходить величину Т. Поэтому возникает вопрос о том, с какой точностью приближается функция , задаваемая рядом (2.3), если воспользоваться лишь некоторым фиксированным числом членов этого ряда.
Рассмотрим частную сумму ряда (2.3) при нечетном числе отсчетов, равном 2K + 1:
(2.10)
Введем невязку
(2.11)
Из (2.11) следует, что отбрасывание хвостов ряда Котельникова приводит к среднеквадратической ошибке аппроксимации ФФС. Эта ошибка равна энергии хвостов.
Для оценки погрешности, возникающей при замене ряда Котельникова частной суммой вида (2.10), целесообразно ввести определенные предположения относительно скорости убывания функции f(t) при |t| > ?.
Предположим, что
(2.12)
(для удобства вместо [0, Т] рассматривается отрезок [-T/2, T/2]).
Используя результаты работ [4, 12], не сложно показать, что ограничение (2.12) приводит к следующей оценке
(2.13)
Анализ функции ?K(t) показывает, что в точках она обращается в нуль, а ее максимумы растут по мере приближения к краям отрезка [-K?t, K?t].
Приведенные в данном подразделе результаты составляют основу аппроксимации функций, которые встречаются в задачах оценивания и могут быть отнесены к классу ФФС. Однако на практике у реальных функций спектр не может быть финитным. Таким образом, для построения адекватных моделей необходимо выяснить влияние отбрасываемых хвостов спектра функции на качество ее аппроксимаций.
2.3 Аппроксимация функций с нефинитным спектром
Прежде всего, рассмотрим задачу приближения произвольных функций с конечной полной энергией (т.е. интегрируемых в квадрате на всей оси) при помощи ФФС и конечной полной энергией.
Пусть ?(t) - произвольная функция, интегрируемая в квадрате на всей оси -? < t < ?, и пусть. Рассмотрим выражение
(2.14)
которое имеет смысл полной энергии разности этих функций и равно квадрату среднеквадратической погрешности при аппроксимацией функции ?(t) функцией f(t).
Поставим перед собой задачу: среди всех функций f(t) пространства найти ту, которая обращает в минимум величину , т.е. осуществляет наилучшие приближенные функции ?(t) в среднеквадратическом смысле.
Для решения задачи заметим, что разность ?(t) - f(t) также интегрируема в квадрате на всей оси. Поэтому, используя равенство Парсеваля имеем
(2.15)
где F?(i?) - спектральная плотность функции ?(t).
Представим себе теперь, что мы хотим применить метод, основанный на теореме отсчетов, для аппроксимации функции с нефинитным спектром. Если выбрать шаг между моментами отсчета равным ?t = ?/? и составить ряд Котельникова для функции ?(t), спектр которой не финитен, то получим новую функцию
(2.16)
где ?k = ?(k?t).
Для того чтобы ряд (2.16) сходился равномерно в каждой ограниченной области, а функция принадлежала пространству , нужно наложить определенные ограничения на поведение чисел ?k, т.е. сузить класс рассматриваемых функций ?(t). Будем для простоты предполагать функцию F?(i?) непрерывной на всей оси и убывающей при |?| > ? быстрее, чем при некоторых ? > 0, ? > 1. Эти условия обеспечивают интегрируемость в первой степени и в квадрате спектральной плотности F?(i?) на всей оси, и, следовательно, обеспечивают непрерывность функции и ее квадратичную интегрируемость.
Функция имеет финитный спектр в интервале (-?, ?). Оценка разности по абсолютной величине:
(2.17)
где
(2.18)
Таким образом, при анализе и синтезе моделей на основе рядов Котельникова необходимо учитывать результирующую погрешность приближения (аппроксимации), обусловленную ошибками двух типов. Ошибки первого типа обусловлены усечением в частотной области (т.е. осуществляется переход к функциям с финитным спектром из класса ), а ошибки второго типа - усечением в пространственной (временной) области (т.е. осуществляется ограничение числа отсчетов аппроксимируемой функции).
2.4 Дифференцирование функций с финитным спектром
Рассмотрим новый метод N-кратного дифференцирования, базирующийся на применении ряда Котельникова, который по сравнению с известными методами в большой степени ориентирован на решение конкретных задач оценивания.
Пусть задана функция f(t), принадлежащая к классу , для которой справедливо разложение в виде ряда Котельникова (2.3). Рассмотрим производную N-го порядка f(N)(t) от функции f(t), представимой рядом (2.3). Относительно функции f(N)(t) () можно утверждать, что она, так же как и функция f(t), может быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, и для нее справедливо представление
(2.19)
где
Таким образ