Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
атических свойств оценок наименее ограничительными является свойство состоятельности. Однако условие (1.22) обеспечивает лишь слабую сходимость или сходимость по вероятности, что не является достаточной гарантией для получения желательной оценки. Поэтому на практике используются еще два вида сходимости [2, 3].
. Сходимость сильная, или почти наверное,
. (1.24)
. Сходимость в среднем квадратическом,
.(1.25)
Если выбрать в качестве оптимального свойства сильную сходимость, то получим следующее определение состоятельности критерия K. Критерий качества К называется состоятельным по отношению к паре G - S, если соответствующее ему решение является единственным и обладает свойством сильной сходимости к действительному значению .
В случае, когда модель G эквивалентна реальному поведению R, то . Если условие эквивалентности не выполняется, но выполняется условие ?-адекватности, то начальные условия могут не совпадать. Расстояние между ними будет
, (1.26)
где - некоторое число, зависящее от ? . В этом случае условие (1.24) в определении состоятельности критерия качества должно выполняться не для всякого ? > 0, а только для .
Если решение задачи оценивания получено в аналитическом виде и имеется плотность вероятности р(?) выборочного вектора ?, то появляется возможность использования необходимых или достаточных условий состоятельности, когда критерий K обеспечивает получение единственного решения .
Если учесть, что из сильной сходимости следует слабая сходимость, то имеем следующий критерий: для состоятельности критерия качества К по отношению к паре G - Q необходимо, чтобы оценка обладала свойством сходимости по вероятности
. (1.27)
Признаком слабой сходимости может быть выполнение следующего условия: для каждого ? > 0 существует такое натуральное число К, при котором для любого l > 0 справедливо неравенство
. (1.28)
Если все оценки ограничены в совокупности, то данный признак является также и необходимым.
Следующий критерий, отражающий достаточные условия состоятельности K, выглядит так: для состоятельности критерия качества K по отношению к паре G - Q достаточно, чтобы оценка обладала свойством сходимости в среднем квадратическом:
(1.29)
и чтобы
.(1.30)
Данным критерием можно пользоваться, если имеется выражение для математического ожидания квадрата нормы отклонения оценки от действительного значения в зависимости от числа К результатов измерений.
Сформулированные критерии задают некоторые границы состоятельности критерия качества К. С использованием неравенства Чебышева можно сформулировать следующие менее сложные с практической точки зрения критерии, выполнение которых гарантирует необходимое условие состоятельности K. Первый критерий: если оценка обладает свойством сходимости в среднем квадратическом
(1.31)
то она обладает свойством слабой сходимости. Второй критерий: если оценка обладает свойством асимптотической несмещенности
(1.32)
И
,(1.33)
то она обладает свойством слабой сходимости.
В [2, 3] дана характеристика наиболее распространенных на практике функций потерь, которые задают многообразие критериев качества, применяемых в задачах оценивания. Там же перечисляются основные свойства риска , непосредственно вытекающие из свойств применяемой функции потерь.
2. Приближение и дифференцирование полезных сигналов в классе функций с финитным спектром
.1 Интерполяция функций с финитным спектром
В данном разделе в качестве моделей полезных сигналов используются функции с финитным спектром (ФФС) [29], для которых в соответствии с известной теоремой отсчетов справедливо представление в виде ряда Котельникова. На базе ФФС развивается метод косвенного оценивания локальных характеристик полезного сигнала, который в отличие от традиционных подходов в меньшей степени чувствителен к случайным ошибкам измерений и может быть применен для вычисления соответствующей производной в любой точке фиксированного интервала наблюдения.
Следует отметить, что необходимость оценивания локальных характеристик до N-гo порядка включительно возникает довольно часто при решении широкого круга прикладных задач. При этом на практике, как правило, используются достаточно простые в вычислительном плане косвенные методы оценивания, основанные на численном дифференцировании измеренных сигналов с использованием разностных шаблонов. Среди данных методов наиболее распространены методы скользящего дифференцирования [26, 27], предполагающие разложение дифференцируемой функции в соответствующий конечный ряд Тейлора и вычисление искомой производной только для одной (средней) точки выбранного интервала измерений. Основной недостаток указанных методов состоит в следующем. Для уменьшения остаточной (методической) погрешности требуется либо уменьшать шаг дискретизации по времени либо повышать порядок используемых разностей. Но и в том, и в другом случаях резко возрастают погрешности, вызываемые случайными ошибками измерений. Как показано в [26], численные методы, основанные на разностных представлениях, относятся к классу некорректных, поскольку теряют устойчивость при наличии случайных ошибок, которые неизбежно сопутствуют процессу измерений.
Метод N-кратного дифференцирования ФФС, предлагае