Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ом, располагая совокупностью отсчетов , в соответствии с (2.19) можно однозначно восстановить всю функцию .
Поставим задачу найти точные аналитические выражения для отсчетов , позволяющие по заданной совокупности находить искомую совокупность , а на ее основе восстановить функцию .
Для случая произвольного N применительно к функциям , заданным бесконечной совокупностью отсчетов, можно воспользоваться следующим результатом.
Для класса ф ункций f(t) с финитным спектром производная N-гo порядка f(N)(t) в отсчетных точках вычисляется по таким формулам:
для четных
(2.20)
для нечетных
(2.21)
([х] - целая часть числа х).
Вывод данных формул (опущен в силу громоздкости) базируется на использовании формулы Лейбница для N-кратного дифференцирования произведения двух функций и раскрытии неопределенностей типа 0/0, появляющихся при переходе к отсчетным точкам.
Остановимся на вопросе дифференцирования функции fK(t), которая задается в виде конечного ряда Котельникова и интерполирует исходную функцию. Очевидно, что спектр функции fK(t) сосредоточен в интервале (-?, ?), и, следовательно, . Производная N-гo порядка от функции в отсчетных точках вычисляется по формулам:
для четных
(2.22)
для нечетных
(2.23)
Формулы (2.22), (2.23) непосредственно следуют из (2.20), (2.21), если в последних перейти от бесконечных сумм по индексу i к конечным суммам.
Формулы (2.22) и (2.23) также допускают векторно-матричную форму записи:
(2.24)
где
(2.25)
для четных
(2.26)
для нечетных
.5 Погрешности дифференцирования функций с финитным спектром
Для оценки погрешностей дифференцирования введем ограничение на поведение функции при Положим, что для интегрируемой в квадрате функции , выполняется неравенство (2.12).
Введем теперь меру отклонения функций f(N)(t) и в отсчетных точках отрезка [-Т, Т]:
(2.27)
где
Рассмотрим первый случай, когда при фиксированных
и d > 1 последовательность монотонно убывает
(при i = - К - 1, - К - 2,... и i = K + 1, K + 2,...).
Если последовательность монотонно убывает
(при i = - К - 1, - К - 2,... и i = K + 1, K + 2,...) и, кроме того, выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции справедлива оценка
(2.28)
где
При получении оценки (2.28) был использован известный признак Лейбница для установления сходимости знакочередующихся рядов.
Поскольку для функций f(t) из класса величина является фиксированной, то в формуле (2.28) варьируемыми оказываются параметры Т и К. Значения данных параметров выбираются из условия обеспечения требуемой точности N-кратного дифференцирования.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда последовательность может не являться монотонно убывающей, однако условие (2.12) выполняется.
Если выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции справедлива оценка
(2.29)
Введем теперь меру отклонения функций и :
(2.30)
где
Если выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции на отрезке [-Т, T] справедлива оценка
(2.31)
где в зависимости от характера поведения f(t) при удовлетворяет неравенствам (2.28) или (2.29),
(2.32)
При расчетах в соответствии с формулой (2.31) можно воспользоваться оценкой
(2.33)
которая показывает, что величина среднеквадратического отклонения не превосходит полной энергии функции . В этом случае
(2.34)
Если ввести ограничения на поведение функции :
(2.35)
то применительно к можно воспользоваться более строгой оценкой
(2.36)
2.6 Дифференцирование функций с нефинитным спектром
Рассмотрим возможность применения изложенного в предыдущих подразделах математического аппарата для N-кратного дифференцирования функций с нефинитным спектром.
Пусть ?(t) - произвольная функция, у которой производная абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале и Для непрерывной на всей оси спектральной плотности функции ?(t) введем следующее ограничение
(2.37)
Допустим, что среди всех функций из класса выбрана та f(t), которая обращает в минимум выражение
(2.38)
где и - спектральные плотности функций ?(t) и f(t) соответственно.
Как указывалось в подразд. 2.3, минимум достигается тогда, когда
(2.39)
при этом
(2.40)
Отклонение функций и
(2.41)
при выполнении условий (2.37), (2.39) удовлетворяет неравенству
(2.42)
где .
Результирующую погрешность находится так
(2.43)
Таким образом, полученные формулы позволяют оценить результирующую погрешность N-кратного дифференцирования, возникающую при использовании ФФС к реальным сигналам.
.7 Дифференцирование финитных функций
Обратимся теперь к наиболее распространенному в практике случаю, когда дифференцируемые функции являются финитными на временной оси, и, следовательно, не принадлежат классу ФФС.
Анализ приведенных ранее аналитических зависимостей показывает, что погрешность N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова определяется уровнями усечения функции и ее спектра, а также скоростями их убывания соответственно в пространственной (временной) и