Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?, функция-регуляризатор срезывающего типа на отрезке [-Т, T] тождественно равна единице, и, следовательно, составная функция на отрезке [-T, T] повторяет исходную функцию . Однако построение срезывающих функций сводится к вычислению соответствующих определенных интегралов, что создает определенные неудобства на практике по сравнению с функциями типа (2.49).
Ниже приводятся результаты численного эксперимента, направленного на вычисление первой и второй производных от финитных функций (рис. 2.4), (рис. 2.5) и (рис. 2.6), существующих на отрезке [-Т, T]. В качестве продолженных использовались соответственно функции , и , существующие на отрезке , а в качестве - функция-регуляризатор (2.49):
Рис. 2.5Рис. 2.6
где (полагалось, что в векторе ? все параметры равны нулю, за исключением и , а параметр ),
где ,
Данные выражения позволяют находить приближенные значения производных и в отсчетных точках , отрезка . При практических расчетах необходимо помнить, что отрезку [-Т, Т] соответствует сетка интерполяции объемом 2К + 1, а отрезку - сетка объемом . При этом узлы отрезка образуются путем добавления к узлам , слева и справа соответствующего числа узлов.
Рисунок 2.7Рисунок 2.8
На рис. 2.7 приведены зависимости относительной погрешности вычисления (для случая, когда )
от объема сетки аппроксимации для функций (кривая 1), (кривая 2) и (кривая 3) при следующих исходных данных:
T = 3, , Кривые 1,2 и 3 на рис. 2.8 показывают зависимость от для функций , и соответственно при Т = 3, К = К + 2 = 8, N = 1.
Анализ графиков (см. рис. 2.7 и 2.8) показывает: во-первых, высокая точность вычисления производных обеспечивается при достаточно малых объемах сетки интерполяции; во-вторых, точность расчетов существенно зависит от выбора значений параметров и , которые определяются исходя из условия минимизации результирующей погрешности дифференцирования с учетом формул, полученных в предыдущих подразделах.
Рисунок 2.9Рисунок 2.10
На рис. 2.9 и 2.10 приведены аналогичные зависимости от параметров и для N = 2 (кривые 1, 2 - для функции , кривые 3, 4 - для функции ). Зависимости рассчитывались при следующих исходных данных: на рис. 2.9 кривые 1, 3 - = 4тАв10-4, Т = 3, кривые 2, 4 - = 4тАв10-5, Т = 3, на рис. 2.10 кривые 1, 3 -= К + 3 = 8, Т = 3; кривые 2, 4 - = К + 4 = 9, Т = 3.
Анализ графиков (см. рис. 2.9 и 2.10) показывает, что погрешности вычисления второй производной близки к погрешностям вычисления первой производной (по порядку и характеру поведения кривых). При этом лишь незначительно (4 и 6 точек) увеличивается объем сетки отрезка [-Т, Т], обеспечивающий требуемую точность вычислений.
Рисунок 2.11
На рис. 2.11 представлены зависимости от при следующих исходных данных: кривая , = 1тАв10-5, T = = 3, N = 1; кривая 2 - = 14, = 1тАв10-5, T = 3, N= 1; кривая , = 1тАв10-5, T = 3, N = 2; кривая , = =1тАв10-5, T = 3, N = 1.
Анализ графиков (см. рис. 2.11) показывает, что точность вычислений существенно зависит от числа дополнительных точек, причем с добавлением каждой новой пары точек погрешность дифференцирования уменьшается более чем на порядок и уже при дальнейшее приращение в точности становится практически незначительным.
2.8 "ияние погрешностей задания отсчетов функций на точность дифференцирования
При практической реализации численных алгоритмов дифференцирования на ЭВМ принципиальным является вопрос, связанный с устойчивостью разрабатываемых алгоритмов по отношению к методическим погрешностям и погрешностям задания отсчетов дифференцируемых функций. Последний вид погрешностей связан, например, с ошибками округления или измерения, которые необходимо учитывать при решении задачи оценивания.
Покажем, что математический аппарат N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова в большинстве практически важных случаев является более устойчивым по отношению к случайным ошибкам задания отсчетов дифференцируемых функций по сравнению с традиционными методами, предполагающими использование конечно-разностных схем.
Пусть ?(t) - произвольная функция, методическая погрешность N-кратного дифференцирования которой не превышает величины . Считаем также заданным вектор отсчетов где - вектор-столбец отсчетов дифференцируемой функции ?(t); - вектор-столбец ошибок задания отсчетов исходной функции ?(t) на отрезке [-Т, Т]. Принимаем, что ошибка является векторной случайной величиной, имеющей нулевое математическое ожидание и соответствующую корреляционную матрицу где - дисперсия.
Учитывая, что модель отсчетов предполагает наличие гауссовских ошибок, а формулы N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова соответствуют линейным преобразованиям над отсчетами исходной функции, корреляционную матрицу ошибок вычисления значений компонент вектора производных можно представить в следующем виде [2]:
(2.50)
где - матрица дифференцирования.
Если матрица является диагональной, причем
то элементы матрицы можно определить следующим образом:
(2.51)
для четных ;
(2.52)
для нечетных .
Анализ выражений (2.51) и (2.52) показывает, что степень устойчивости результатов дифференцирования к случайным ошибкам задания отсчетов функции ?(t) в основном определяется величиной Поскольку метод N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова работоспособен при достаточно больших значениях ?t (для функций с хорошими