Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ости вычислительных алгоритмов к сингулярным погрешностям является принципиально важным, поскольку нескомпенсированность последних практически полностью обеiенивает получаемые результаты и приводит к невозможности достоверной интерпретации вычислительного эксперимента [2, 3, 23, 24, 27]. Решению вышеперечисленного круга проблем посвящена настоящая работа.
.2 Математическая постановка задачи
Пусть функция представима в виде
(3.1)
где - вектор неизвестных отсчетов функции
, 0,
= .
Зададим сетку , узлам которой ставятся в соответствие значения
(3.2)
где и - соответственно сингулярная и случайная составляющие результирующей погрешности в узле .
Для описания сингулярной погрешности воспользуемся следующей моделью
, (3.3)
где - вектор неизвестных коэффициентов,
- вектор линейно-независимых функций.
В дальнейшем помимо (3.2) нам потребуется следующая векторная форма записи
, (3.4)
где ,
,
Считаем, что случайный вектор характеризуется нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей .
Введем следующий оператор -кратного дифференцирования :
где , то есть рассматривается вопрос, связанный с вычислением значений функции и ее производных до - го порядка включительно в центральной точке интервала .
Поставим задачу оптимального оценивания значений данного оператора на основе конечномерной выборки (3.4), содержащей сингулярную и случайную погрешности. Искомый оптимальный оператор - кратного дифференцирования значения которого близки (в смысле определяемого ниже критерия оптимальности) к значениям будем искать в виде
(3.5)
где - вектор оценок искомых производных в точке ,
- матрица искомых коэффициентов оптимального оператора .
В дальнейшем полагаем, что составная матрица
, где
и имеет ранг, равный , то есть поставленная выше задача разрешима.
Корреляционная матрица оценки (3.5) для принятой модели случайного вектора находится по правилу
(3.6)
Требуется найти вид матрицы оператора , которая обеспечивает минимизацию следа матрицы (то есть величины
, где - диагональные члены матрицы ), а
также выполнение условия несмещенности оценки значений линейного оператора
(3.7)
и условия инвариантности оператора к сингулярным ошибкам измерений
, (3.8)
где - нулевой вектор-столбец размерности .
Ставится также задача проанализировать влияние неадекватности модели (3.1) на результаты оптимального оценивания значений оператора - кратного дифференцирования.
3.3 Решение задачи
С учетом (3.1), (3.5), и (3.7), замечая, что , имеем
,(3.9)
откуда вытекает следующее условие несмещенности
, (3.10)
где - нулевая матрица размерности
,
.
Принимая во внимание (3.8), получим
,(3.11)
откуда вытекает следующее условие инвариантности
. (3.12)
Для компактности последующих выкладок введем следующие обозначения:
, , , , , , - единичная матрица
размерности . С учетом данных обозначений, а также полагая, что система уравнений (3.10), (3.12) совместна, сформулируем и докажем следующую теорему.
Матрица линейного оператора - кратного дифференцирования , обеспечивающая минимизацию следа корреляционной матрицы и выполнение условий несмещенности (3.10) и инвариантности (3.12), определяется по следующей формуле [9, 10, 14, 15]:
,(3.13)
где ,
(3.14)
для ;
(3.15)
для ;
(3.16)
для , - целая часть числа .
Доказательство осуществляется в соответствии с методом множителей Лагранжа.
С учетом (3.1) для оптимальной оценки минимальный след матрицы находится по следующему правилу
,(3.17)
где
,(3.18)
.(3.19)
Соотношения (3.13) - (3.16), а также (3.17) - (3.19) составляют математическую основу развитого оптимального метода инвариантного оценивания значений операторов - кратного дифференцирования при наличии во входных данных как случайных, так и сингулярных ошибок.
Несложный анализ показывает, что необходимыми и достаточными условиями практической реализуемости данного метода являются:
наличие ненулевых матриц в (3.13) и невырожденность исходных матриц поставленной задачи ;
совместность условий несмещенности (3.7) и инвариантности (3.8), то есть базисные функции в (3.1) и (3.3) должны быть линейно независимыми и , следовательно, составная матрица должна иметь ранг, равный ;
количество узлов в (3.2) должно превышать общее число неизвестных коэффициентов в моделях (3.1) и (3.3), то есть >
3.4 Оценка методической погрешности
Дадим теперь оценку методической погрешности оптимального оценивания, обусловленной неадекватностью принятой математической модели (3.1). Пусть истинная функция имеет следующее аналитическое представление
(3.20)
при этом функцию считаем интегрируемой в квадрате на всей вещественной оси, для которой [29]
,(3.21)
где при при.
Пусть для функции выполняются следующие ограничения:
0, 1, .(3.22)
Введем меру отклонения функций и :
. (3.23)
Опираясь на результаты второго раздела можно получить ряд оценок сверху на методические по