Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
о непрерывных на отрезке [t0, Т] вектор-функций у = у(t) с расстоянием , определяемым, например, выражениями типа (1.10) и (1.11). Это позволяет рассматривать элемент
(1.12)
как непрерывное отображение метрического пространства в метрическое пространство . При этом необходимое условие ?-адекватности (локальной и глобальной) в пространстве измеряемых параметров выглядит так:
, (1.13)
где ; L - постоянная Липшица для отображения , удовлетворяющая условию
(1.14)
Так, для случая квадратичной метрики и линейного преобразования
, (1.15)
где H - матрица соответствующей размерности, условие (1.14) имеет вид
(1.16)
В последнем выражении ?max - максимальное характеристическое число матрицы НТН.
Для получения необходимых и достаточных условий ?-адекватности в пространстве измеряемых параметров на отображение накладываются определенные ограничения. Так, если отображение является гемеоморфным, то для ?-адекватности математической модели G реальному движению R необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(1.17)
где
(1.18)
В случае изометрического отображения , например, когда задается матрицей ортогонального преобразования , адекватность обеспечивается при выполнении неравенства , где ? находится из условия .
Для использования приведенных выше критериев необходимо вычислить значение . Оно может быть найдено по результатам измерений, если ошибками измерений практически можеский характер.
В пространстве выборок статистическое условие адекватности формулируется следующим образом: если отображение является гомеоморфным, то для ?-адекватности математической модели G с вероятностью (надежностью) Р0 реальному поведению R необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
, (1.19)
где - верхняя граница доверительного интервала Iдов, накрывающего с вероятностью Р0 неизвестное значение ; - значение правой части одного из условий ?-адекватности, сформулированного ранее.
Будем полагать, что критерий качества K в случае эквивалентности модели G реальному поведению R(? = 0) обеспечивает получение решения , обладающего свойством сильной сходимости:
,(1.20)
где - оценка вектора , полученная по измерениям, выполненным в дискретные моменты времени
Сформулированное статистическое условие адекватности оказывается связанным с предположением о сильной сходимости оценок к своим действительным значениям. Сильная сходимость лежите основе понятия состоятельности критерия качества K. Состоятельность критерия качества является необходимым условием для однозначного вывода, получаемого с использованием статистического условия адекватности. В свою очередь состоятельный критерий качества обеспечивает сходимость оценок к их действительным значениям только с той точностью, которую гарантирует величина ? в условии адекватности.
Если условие состоятельности не выполняется, то результат проверки условия адекватности относится не только к вопросу близости модели G и реального поведения R, но и к отношению между критерием качества К и условиями опыта Q. Какое из этих двух отношений не удовлетворяет требованиям регулярности, в данном случае установить трудно.
Условие адекватности (1.19) не только служит показателем близости G и R, но и является качественным показателем точности получаемого решения . Последнее свойство статистического условия адекватности является очень важным, так как количественно оценить точность решения в сложных задачах оценивания практически не представляется возможным.
.4 Состоятельность критерия качества
Полагая и учитывая, что оценка действительного значения вектора зависит от мощности выборки (т.е. ), введем в Rn расстояние с помощью нормы
. (1.21)
Рассмотрим известные статистические свойства оценок.
. Состоятельность,
, (1.22)
где - любое положительное число; Р{Q)} - вероятность события Q.
. Несмещенность,
.(1.23)
где М{} - символ математического ожидания.
. Эффективность (оценка называется эффективной, если по сравнению с любой другой она обладает наименьшим разбросом).
. Достаточность (оценка называется достаточной, если она определяется через достаточные статистики как функция от них).
Опыт показывает, что в большинстве случаев невозможно найти такой критерий качества K, чтобы названные статистические свойства оценок удовлетворялись в совокупности, хотя они и не являются противоречащими друг другу. Данные свойства называются вторичными оптимальными свойствами оценок, поскольку первичное свойство определяется критерием качества.
Для решения вопроса о выборе критерия качества, обеспечивающего получение оценок, обладающих какими-то вторичными свойствами, необходимо из всех вторичных свойств выбрать одно или несколько свойств, чтобы множество методов оценивания было разбито на два класса. В первый класс должны войти методы, обеспечивающие выбранные свойства (множество состоятельных методов), во второй - все остальные (множество несостоятельных методов). Среди состоятельных методов оценивания (состоятельных критериев качества) далее можно искать метод, которому соответствует наиболее эффективная вычислительная процедура решения задачи.
Из перечисленных выше ст