Разработка единого системного подхода к решению задачи оптимального оценивания
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?решности. Так, отклонение функций и при выполнении ограничения (3.22) удовлетворяет неравенству
. (3.24)
Соответственно для оценки погрешности - кратного дифференцирования введем меру отклонения функций и в точке :
. (3.25)
Для погрешности - кратного дифференцирования, обусловленной усечением ряда Котельникова функции в пространственной области, при выполнении условия (3.22) справедлива оценка
,(3.26)
где .
Введем результирующую погрешность - кратного дифференцирования в точке :
, (3.27)
где - погрешность, обусловленная переходом от функции с нефинитным спектром к функции с финитным спектром (усечение в частотной области), - погрешность, обусловленная переходом от к функции с финитным спектром (усечение в пространственной области).
Отклонение функций и в точке удовлетворяет неравенству
.(3.28)
Найдем теперь среднее значение методической ошибки, полагая, что для истинной модели справедливо следующее представление
, (3.29)
где - остаточный член.
Используя символ математического ожидания и учитывая, что
и , найдем среднее значение методической ошибки - кратного дифференцирования:
, (3.30)
где .
Непосредственно из (3.29) и (3.30) следует, что методическая погрешность целиком определяется свойствами линейных операторов и , а также величиной остаточного члена и его дискретного аналога . Следует отметить, что минимизация результирующей погрешности оценивания значений оператора , которая характеризуется величинами и , достигается на практике путем рационального варьирования параметрами и . В качестве такой результирующей погрешности можно, например, принять следующую величину
=. (3.31)
.5 Сравнительный анализ разработанного метода с методом наименьших квадратов
Рассмотрим случай, когда и , следовательно, . Оценка вектора в соответствии с классическим МНК имеет вид [23]
(3.32)
Принимая во внимание, что , оптимальная оценка вектора с учетом (4.1) находится следующим образом
(3.33)
С учетом того, что в рассматриваемом случае получаем
(3.34)
Поскольку (где - оптимальная оценка вектора , построенная согласно развиваемому в статье подходу), то с учетом (3.34) имеем
(3.35)
Анализ формул (4.33) и (4.35) показывает, что для случая, когда , оценки по методу МНК и оценки, соответствующие разработанному методу, совпадают. Данный вывод не является неожиданным, поскольку обе оценки являются несмещенными, при этом
где и - корреляционные матрицы оценок (4.33) и (4.35) соответственно.
Основное достоинство развиваемого в статье подхода состоит в том, что он не требует увеличения размерности решаемой задачи при построении оптимальных несмещенных оценок, инвариантных к сингулярным погрешностям. Можно сказать, что развит модифицированный МНК, обладающий внутренним свойством инвариантности к сингулярным погрешностям измерений заданного класса.
3.6 Результаты вычислительного эксперимента
Рассмотрим задачу оптимального оценивания при наличии сингулярной и флуктуационной помех для следующих исходных данных:
, , , , , и , , , то есть , , , .
Принимая , , , с учетом (1.2) в узлах сетки имеем
, .
Поскольку в данном случае рассматривалась задача оценивания сглаженного значения функции и ее первой производной в средней точке отрезка .
При моделировании вектор случайных погрешностей полагался распределенным по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей
, где - заданная положительная константа.
Кроме того, полагалось, что на отрезке выполнялось тождественное равенство , то есть . Вычисления проводились с точностью .
Раскроем далее основные вектора и матрицы (здесь и далее числа округлены до третьего знака после запятой) с учетом специфики рассматриваемого примера:
, ,
, ,
,
.
Исходя из условий практической реализуемости развитого метода, сформулированных во втором параграфе, в данном примере система базисных функций выбрана линейно независимой. При этом ранг расширенной матрицы равен 6, что обеспечивает совместность условий несмещенности и инвариантности.
Искомая матрица выглядит так
.
Для принятых исходных данных имеем следующие значения дисперсий ошибок оценивания: (для ).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда для заданного отрезка число - произвольное число натурального ряда, то есть . Примем также , .
Для моделирования на ЭВМ случайных погрешностей
использовался датчик случайных чисел, генерирующий квазислучайную последовательность с нормальным распределением, характеризующимся нулевым математическим ожиданием и соответствующей дисперсией .
Результаты моделирования отображены в виде таблицы, показывающей зависимость результирующих оптимальных оценок и , а также евклидовой нормы вектора сингулярной ошибки от числа для и соответственно. При этом указанные оценки формировались путем усреднения единичных оценок величин и , полученных на основе пятидесяти реализаций, генерируемых датчиком случайных чисел.
Таблица 3.1
415.1571.2260.6840.9890.2081020.6861.1240.3140.9960.1892027.7171.0320.2630.9980.1213033.3211.0210.0970.9990.0164038.1141.0070.0281.0000.0095042.3711.0000.0071.0000
Анализ результатов моделирования пока