Учебное пособие Уфа 2008 удк 531(075. 3) Ббк 22. 2я73

Вид материала

Учебное пособие

Содержание 5. Третий закон Ньютона 6. Импульс. Общая формулировка второго закона Ньютона 7. Виды взаимодействий тел 8. Гравитационные силы (силы тяготения) 9. Сила тяжести и вес. Невесомость

Подобный материал:

• Учебное пособие удк 159. 9(075) Печатается ббк 88. 2я73 по решению Ученого Совета, 5335.58kb.
• Учебное пособие Уфа 2008 удк 616. 97: 616. 5(07) ббк 55., 7232.11kb.
• Учебное пособие Уфа 2005 удк 338 (075. 8) Ббк, 1087.66kb.
• Учебное пособие Майкоп 2008 удк 37(075) ббк 74. 0я73, 4313.17kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим советом угаэс уфа-2005 удк 330., 1365.17kb.
• Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 338. 24(075. 8) Ббк 65. 290-2я73, 2121.39kb.
• Учебное пособие уфа-2007 удк 330. 01 (075. 8) Ббк 65. 02., 836.31kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 удк 005. 91: 004. 9(075. 8) Ббк 65. 291. 212., 97.7kb.
• Учебное пособие Чебоксары 2007 удк 32. 001 (075. 8) Ббк ф0р30, 1513.98kb.

2. Масса


Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют скорость и получают различные ускорения. Это свойство тел влиять на величину собственного ускорения называется инертностью тел. Следовательно, величина ускорения, приобретаемого телом, зависит от некоторого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой.

Таким образом, масса – мера инертности тела. Под инертностью понимают неподатливость тела действию сил, т.е. свойство тела противиться изменению скорости под воздействием силы. В дальнейшем увидим также, что масса характеризует и гравитационные свойства тел и их энергосодержание.

Масса – скалярная величина. Следовательно, массы тел складываются алгебраически.

Масса составного тела равна сумме масс составляющих тел. Это свойство называется аддитивностью массы.

Массы и двух тел обратно пропорциональны ускорениям и , которые эти тела приобретают под действием одной и той же силы, т.е. .

Поэтому масса тел определяется путем сравнения с массой некоторого произвольно выбранного эталонного тела. По международному соглашению таким эталоном является платино-иридиевый цилиндр, хранящийся в Париже и называемый килограммом массы (кг). Эта масса принята за единицу массы – 1 кг. Тысячная доля кг называется граммом массы (г). С высокой степенью точности масса 1 см³ дистиллированной воды при 4 ⁰С равна 1 г.

При малых скоростях, т.е. таких, с которыми имеют дело в классической механике, масса – постоянная величина. Однако для тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, масса зависит от скорости:

,

где масса тела при (масса покоя), – скорость тела, – скорость света, равная 3·м/с.

Эта формула была получена А.Эйнштейном в 1905 г. Она показывает, что масса возрастает с увеличением скорости. В современных ускорителях электроны разгоняются до таких скоростей, при которых их масса возрастает в тысячи раз. Последняя формула также показывает, что тело не может иметь скорость, превышающую скорость света (в пустоте). По мере увеличения скорости тела растет и его масса, а ускорение уменьшается.


3. Сила


Согласно первому закону Ньютона, если на тело действуют другие тела, то состояние движения тела изменяется, т.е. изменяется его скорость и появляется ускорение. Количественной мерой воздействия на данное тело со стороны другого тела является сила.

Из определения следует, что понятие сила относится к двум телам. Если имеется сила, всегда можно указать тело, на которое она действует, и тело, со стороны которого она действует.

Общие свойства сил устанавливаются при рассмотрении особенностей влияния воздействия на ускорение. Они заключаются в следующем.

1. Так как ускорение является вектором, то и сила, вызывающая ускорение тела, является вектором, т.е. характеризуется и величиной, и направлением. Если силу обозначить через , то:
   

• вектор силы можно представить в виде _, где – составляющие вектора силы по координатным осям;
  

• величина силы равна
  

(4.1)

2. Ускорение тела, подвергающегося воздействию, зависит:
   

• от свойств этого тела (например, деревянный шарик катится мимо магнита равномерно по прямой, а стальной шарик – по кривой траектории);
  
• от свойств тела, оказывающего воздействие (например, стальной шар катится по кривой траектории вблизи магнита, а вблизи деревянного магнита – прямолинейно);
  
• от расстояния между телами, подвергающимися и оказывающими воздействие (чем ближе стальной шар подходит к магниту, тем больше искривляется траектория шарика);
  
• от относительной скорости взаимодействующих тел.
  

Сила, являясь характеристикой взаимодействия тел, также может зависеть от указанных особенностей.

Сила проявляется и в деформации тел. Например, груз, висящий на проволоке, растягивает её. По величине деформации можно определить величину силы. На этом основано измерение силы пружинным динамометром.


4. Второй закон Ньютона


Второй закон Ньютона гласит: ускорение , приобретаемое телом под действием силы , направлено так же, как и сила, а по величине пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела: ~.

Из последнего соотношения следует, что ~. Вводя коэффициент пропорциональности к, получим

(4.2)


Коэффициент зависит от выбора системы единиц. Во всех используемых в настоящее время системах единиц полагается . Таким образом, из (4.2) имеем

(4.3)


Выражение (4.3) и представляет собой одну из формулировок второго закона Ньютона: произведение массы материальной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материальную частицу.

Если же на тело одновременно действуют несколько сил, то сила называется результирующей или равнодействующей силой. Она определяется как геометрическая сумма всех этих сил: , где n – номер силы. Это и есть принцип суперпозиции.

Следует отметить, что сформулированный выше второй закон, вообще говоря, применим к движению не произвольного тела, а материальной точки. Однако особо точные измерения движения планет вокруг Солнца показали, что он справедлив и для любого тела.

Заметим также, что второй закон Ньютона возник в результате обобщения огромного количества опытных данных. Следовательно, этот закон является экспериментальным.

Из второго закона Ньютона можно выделить следующие особенности движения материальной точки.

1. Силами определяется ускорение тела, а не скорость тела. Скорость тела зависит от предыдущего движения тела. Однако направление изменения скорости совпадает с направлением действия силы.
   
2. В инерциальных системах отсчета для каждой силы можно указать тело, со стороны которого эта сила действует на данное тело.
   
3. Если на тело не действуют силы или они скомпенсированы в любой момент времени (), то и, следовательно, тело движется равномерно, т.е. выполняется первый закон Ньютона.
   
4. Второй закон Ньютона эквивалентно трем скалярным уравнениям:
   

, , _, (4.4)

где – проекции вектора ускорения на три оси декартовой системы координат, – проекции векторов сил на эти же оси.

5. Если рассматривается движение системы тел, то второй закон применяется к каждому телу этой системы в отдельности с учетом всех сил, действующих на данное тело.
   
6. Уравнение (4.3) называется уравнением движения. Оно позволяет по известным силам, значениям координат и проекций скорости материальной точки в данный момент времени предсказать дальнейшее её движение.
   
7. Используя второй закон Ньютона, можно определить единицу измерения силы. В международной системе единиц сила измеряется в ньютонах Н. 1 Н = кг·м/с³. 1 Н равен силе, под действием которой тело массой 1 кг получает ускорение 1 м/с². В системе СГС сила измеряется в динах. 1 дин = г·см/с², т.е. это сила, под действием которой тело массой 1 г получает ускорение 1 см/с². 1 Н = 10⁵ дин. Иногда приходится пользоваться старыми приборами, где в качестве единицы измерения силы используется килограмм-сила 1 кГ: 1 кГ = 9,8 Н. Физический смысл её: 1 кГ – это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение, равное 9,8 м/с².
   

^ 5. Третий закон Ньютона


Любое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если первое тело действует на второе тело, сообщая ему ускорение, то всегда одновременно второе тело действует на первое тело, сообщая ему ускорение. Например, груз, давящий на опору, испытывает давление со стороны опоры. Соотношение между силами, приложенными к взаимодействующим телам, описывается третьим законом Ньютона: два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению:

_, (4.5)

где – сила, действующая на первое тело со стороны второго, – сила, действующая на второе тело сто стороны первого.

Например, гиря, лежащая на ладони, действует на ладонь силой , направленной вниз, а гиря, в свою очередь, действует на ладонь силой , направленной вниз. Равенство (4.5) имеет место независимо от того, покоится или движется ладонь с грузом.

Особенности этого закона следующие.

• В нем речь идет о силах, приложенных к различным телам. Поэтому эти силы не могут уравновешивать друг друга.
  
• Результат действия сил, вследствие чего тела приобретают ускорения, зависит от массы каждого из взаимодействующих тел. Действительно, из (4.5) следует, что или , где и – массы взаимодействующих тел.
  
• Силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к телу, можно всегда сопоставить равную по величине и противоположную по направлению силу, приложенную к другому телу, взаимодействующим с данным.
  
• Этот закон является приближенным, так как скорость взаимодействия тел – конечная величина. Это особенно важно в случае, когда взаимодействие осуществляется через поле.
  

^ 6. Импульс. Общая формулировка второго закона Ньютона


Иногда требуется знать значения движущей силы, массы и ускорения тела для любого наперед заданного момента времени. Для такого рода расчетов применяется общая (или новая) формулировка второго закона Ньютона.

Пусть в течение некоторого промежутка времени на тело массой подействовала постоянная сила . Она будет сообщать телу постоянное ускорение . Тогда уравнение движения этого тела преобразуется к виду

, (4.6)

если масса тела во время движения остается постоянной.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки называют вектор , равный по величине произведению массы этой точки на её скорость и совпадающий по направлению с направлением скорости, т.е.

(4.7)

Тогда уравнение (4.6) приобретает вид:

(4.8)

Уравнение (4.8) называется общей формой записи второго закона Ньютона. Он формулируется так: производная импульса тела (материальной точки) по времени равна равнодействующей силе, действующей на это тело.

Произведение движущей силы на время её действия называется импульсом силы. Поэтому уравнение (4.8) можно переписать в виде

_, (4.9)

т.е. изменение импульса тела за некоторый промежуток времени равно изменению импульса силы, действующей на тело, за то же время и направлено в ту же сторону, куда направлен импульс силы. Такую формулировку второму закону динамики дал сам Ньютон.

Общая форма записи второго закона Ньютона верна и для переменной массы, например, она позволяет рассчитать движение ракет, масса которых изменяется вследствие выброса газов. В этом случае уравнение (4.8) записывается в виде

(4.10)


^ 7. Виды взаимодействий тел


Из кинематики известно, что знание величины и направления ускорения позволяет вычислить значения радиуса – вектора материальной точки в любой последующий момент времени. Законы динамики позволяют сделать это, если известна правая часть уравнений (4.3) или (4.4). Другими словами, нужно уметь определять силы, действующие на тело, положение которого требуется описать. Взаимодействие между макроскопическими телами физика сводит к взаимодействию между элементарными частицами. Таких элементарных частиц в настоящее время известно более сотни. Среди них наиболее популярны электрон, протон и нейтрон. Для характеристики всех частиц вводятся такие понятия, как масса покоя, электрический заряд, собственный механический момент (спин), а также четность, странность, красивость, барионный заряд, цветовой заряд, слабый заряд и т.д. Установлено, что между элементарными частицами существует четыре фундаментальных взаимодействия: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное (таблица 4.1).


Таблица 4.1.

Название взаимодействия	Относительная интенсивность	Частица, «переносящая» взаимодействие	Характеристика частицы
Сильное	1	-мезоны (глюоны) (8 типов)	m250 mэлектр разнообразные
Электромагнитное	10-2	фотон	E= h
Слабое	10-13	W-частицы Z-частицы	Е102 с2 m протон гипотетичны
Гравитационное	10-40	гравитон	гипотетичен

В классической физике считается, что электромагнитное и гравитационное взаимодействия осуществляются посредством поля. Как было указано на первой лекции, поле – это особый вид материи, характерный тем, что каждой точке пространства можно приписать определенное значение поля. Физическое поле – непрерывно. Однако современная физика, базирующаяся на квантовых представлениях, считает дискретной любую физическую величину, которая может изменяться только определенными порциями – квантами. Она приписывает полям дискретный характер, когда изменение поля рассматривается как излучение или поглощение некой частицы, распространяющейся с конечной скоростью (не больше скорости света с). Другими словами, в квантовой физике взаимодействия сводятся к обмену теми или иными частицами, переносящими квант действия. Если квант действия электромагнитного поля хорошо известен под названием фотон, то квант гравитационного взаимодействия остается по сих пор неоткрытым, хотя он уже получил название гравитона.

Сильное взаимодействие может объяснить наличие ядерных сил, ответственных за устойчивость атомного ядра. Ядерные взаимодействия обеспечивают связь частиц внутри ядер и приводят к взаимным превращениям тяжелых элементарных частиц (протонов, нейтронов, мезонов) при их столкновениях и самопроизвольном распаде. Радиус действия ядерного и слабого взаимодействий составляет менее см.

Слабые взаимодействия возникают между микрочастицами, обладающими так называемым слабым зарядом. Они ответственны за распад элементарных частиц. До 1983 года этот тип взаимодействия рассматривался только теоретиками, но в этом году экспериментально была открыта W⁺-частица с энергией 81 ГэВ (Гига – 10⁹, электрон – Вольт – единица измерения энергии, равная 1,6•10 ^-19 Дж), так что слабое взаимодействие получило опытное подтверждение.

Из таблицы 4.1 видно, что гравитационные силы являются слабейшими из всех фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами аддитивности и достигают значительных величин в космическом масштабе (притяжение Луны, строение Солнечной системы и т.п.).

Электромагнитные взаимодействия осуществляются в телах, имеющих электрические заряды. В атомах, молекулах, твердых и жидких телах, в живых организмах именно электромагнитные взаимодействия являются главными. Проявляются они в виде силы трения, силы упругости, силы мышц.


^ 8. Гравитационные силы (силы тяготения)


Изучая движение небесных тел и падение тел в земных условиях, И.Ньютон установил закон всемирного тяготения, который гласит: тело массой действует на находящееся от него на расстоянии r тело массой с силой , величина которой пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т.е.

(4.10)

В формуле (4.10) называется гравитационной постоянной.

Сила направлена по линии, соединяющей тела, и является силой притяжения.

Формулу (4.10) можно написать в виде

(4.11)

В этой формуле – вектор, проведенный от первого тела ко второму. Его модуль , тогда абсолютная величина силы в формулах (4.10) и (4.11) одинакова. Направление этой силы совпадает с направлением вектора , т.е. эта сила направлена по линии, соединяющей тела от второго тела к первому.

Приведенные формулы справедливы как для материальной точки, так и для произвольного тела. В последнем случае расстояние отсчитывается от центров этих тел.

Величина гравитационной постоянной впервые была измерена Кавендишем в 1798 г. с помощью крутильных весов. Физический смысл её заключается в том, что она равна выраженной в ньютонах силе тяготения между точечными телами массой в 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Значение этой величины очень мало. Поэтому малы и силы тяготения. Чтобы силы тяготения были заметны, необходимо, чтобы хотя бы одно из взаимодействующих тел имело огромную массу. Так, сила тяготения между Землей и Луной имеет порядок Н, а между двумя почти соприкасающимися молекулами кислорода – Н.

Данный закон доказывает, что взаимодействие между телами осуществляется через особый вид материи – посредством гравитационного поля.

Отличительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их массы, одинаковое ускорение. Действительно, если применить формулу для случая взаимодействия земного шара с телами, расположенными вблизи земной поверхности, то выражение силы тяготения тел к Земле можно представить в виде , где – масса Земли, R – её радиус, – масса тела.

C другой стороны, _, где – ускорение свободного падения тел вблизи земной поверхности. Сравнивая последние формулы, получим .

Так как значения постоянных, входящих в последнюю формулу, известны, ясно, что все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением, равным . Строго говоря, это ускорение зависит от широты и высоты места.

Следует отметить ещё одну особенность – особенность массы. Согласно закону всемирного тяготения масса имеет смысл меры силы тяготения (гравитационная масса). Ранее мы говорили, что масса – это мера инертности (инертная масса). Хотя по физическому смыслу эти массы различаются, опыт показывает, что численные значения их отличаются незначительно.


^ 9. Сила тяжести и вес. Невесомость


Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением. Отсюда вытекает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело действует сила

(4.12)

Эта сила называется силой тяжести. Она приближенно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле. Это различие не превышает 0,36 % и оно связано тем, что система отсчета, связанная с Землей, не вполне инерциальна.

Если подвесить тело или положить его на опору, оно будет покоиться относительно Земли (Рис. 4.2). В этом случае сила тяжести уравновешивается силой , которую называют реакцией подвеса или опоры. Реакциями называются силы, с которыми на данное тело действуют тела, ограничивающие его движение. По третьему закону Ньютона тело действует на подвес или опору с силой , которую называют весом тела.




а) б)

Рис. 4.2.


Таким образом, вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.

Поскольку силы и уравновешивают друг друга, выполняется условие .

Вес есть сила, с которой тело действует на подвес (или опору), а есть сила, с которой повес (или опора) действует на тело. Согласно третьему закону Ньютона должно выполняться соотношение .

Сравнение обоих соотношений дает, что

(4.13)

Таким образом, вес и сила тяжести равны друг другу. Однако приложены они к разным телам – вес к подвесу (или опоре), сила тяжести – к самому телу.

Равенство (4.13) имеет место только в том случае, когда подвес или опора (а, следовательно, и тело) покоится относительно Земли (или движется без ускорения). Если же точка крепления подвеса или опора движется с ускорением, вес перестает быть равным силе тяжести.

Рис.4.3. Определение веса тела.

Для пояснения сказанного полезно рассмотреть показания весов, на которых стоит гиря. В неподвижном состоянии на гирю действуют две силы – сила тяжести и сила реакции опоры (весов), причем. Если весы движутся вниз с ускорением а (см. рис.4.3), то уравнение второго закона Ньютона, записанное в неподвижной системе координат1, имеет вид:

(4.14)

откуда (4.15)

Учитывая (4.14), вес гири

(4.16)

Очевидно, что при а = g , т.е. все свободно падающие тела ничего не весят, т.е. наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий на околоземной орбите с неработающими двигателями, движется, как и оборвавшийся лифт, с ускорением . Поэтому тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости – они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела. В частности, внутренние органы космонавта перестают оказывать давление на органы, расположенные ниже, а вес тела в целом перестает давить на кости скелета. Этим обуславливается специфическое физиологическое ощущение невесомости.

Сила тяжести на поверхности Земли не является постоянной по двум причинам: во-первых, Земля, как известно, не является идеальным шаром (она сплюснута на полюсах так, что на полюсах g больше, чем на экваторе); во-вторых, вследствие суточного вращения Земли, на все тела на ее поверхности (за исключением географических полюсов) действует центростремительное ускорение a_ц = соs, направленное в ту же сторону, что и g. Поэтому вес тел будет меньше там, где радиус вращения больше, т.е. на экваторе тела имеют наименьший вес.

r  R

Рис.4.4. Изменение радиуса вращения.