Учебное пособие Уфа 2008 удк 531(075. 3) Ббк 22. 2я73

Вид материала

Учебное пособие

Содержание 2. Закон сохранения импульса Движение каждой точки описывается вторым законом Ньютона 3. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение 4. Задача двух тел. Приведенная масса

Подобный материал:

• Учебное пособие удк 159. 9(075) Печатается ббк 88. 2я73 по решению Ученого Совета, 5335.58kb.
• Учебное пособие Уфа 2008 удк 616. 97: 616. 5(07) ббк 55., 7232.11kb.
• Учебное пособие Уфа 2005 удк 338 (075. 8) Ббк, 1087.66kb.
• Учебное пособие Майкоп 2008 удк 37(075) ббк 74. 0я73, 4313.17kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим советом угаэс уфа-2005 удк 330., 1365.17kb.
• Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 338. 24(075. 8) Ббк 65. 290-2я73, 2121.39kb.
• Учебное пособие уфа-2007 удк 330. 01 (075. 8) Ббк 65. 02., 836.31kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 удк 005. 91: 004. 9(075. 8) Ббк 65. 291. 212., 97.7kb.
• Учебное пособие Чебоксары 2007 удк 32. 001 (075. 8) Ббк ф0р30, 1513.98kb.

^ 2. Закон сохранения импульса


Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, а внешними – силы, действующие со стороны тел, не принадлежащих системе. Обозначим внутренние силы через , где первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила. Символом обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ую частицу. Согласно третьему закону Ньютона , т.е. . Отсюда следует, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из двух материальных точек. Обозначим внутренние силы: через – силу, действующую на первую точку со стороны второй, и – силу, действующую на вторую точку со стороны первой. Сумму внешних сил, действующих на первую и вторую точки, обозначим через и соответственно.
^

Движение каждой точки описывается вторым законом Ньютона:

, , (5.13)

где – импульсы точек с массами . Сложив эти два уравнения, получим:

(5.14)

Согласно третьему закону Ньютона, внутренние силы попарно равны и противоположны, т.е. . Поэтому в формуле (5.14) сумма внутренних сил обращается в нуль. С другой стороны, по определению – импульс системы. Таким образом,

(5.15)

Легко видеть, что в случае произвольного числа n материальных точек в левой части всегда будет производная полного импульса системы, а в правой части – сумма всех внешних сил. Поэтому в общем случае имеем

, (5.16)

т.е. производная по времени импульса системы материальных точек равна сумме всех внешних сил, действующих на точки системы. Уравнение (5.16) называют законом изменения импульса системы материальных точек или теоремой о движении центра масс.

Согласно этой теореме центр масс движется как материальная точка, на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.

Как видно из уравнения (5.16), изменение суммарного импульса определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. В связи с этим рассмотрим ряд важных следствий, вытекающих из уравнения (5.16).

1. Рассмотрим систему материальных точек, которая не подвергается воздействию внешних сил. Такая система называется замкнутой. В этом случае правая часть уравнения (5.16) в любой момент времени равна нулю. Тогда

(5.17)

Это значит, что (5.18)

Уравнение (5.18) называется законом сохранения импульса: полный импульс всех тел замкнутой системы сохраняется во времени.

Можно также показать, что при выполнении условия (5.17) центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно.

2. Внешние силы на точки системы действуют, но их сумма равна нулю. В этом случае также выполняется закон сохранения импульса. Например, если тела движутся по гладкой горизонтальной поверхности, то силы тяжести и силы реакции со стороны поверхности, действующие на эти тела и являющиеся внешними, все время равны и противоположны.
   
3. Так как уравнение (5.18) векторное, то оно выполняется также для проекций на любое направление. Поэтому, если сумма проекций внешних сил на какое-то направление в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы на это направление остается постоянной, хотя проекции импульса на другие направления могут при этом изменяться.
   

Примерами действия закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической механике, хотя он получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты показывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы.

В природе реактивное движение используется некоторыми живыми организмами. Например, кальмары, спруты, медузы и некоторые двухстворчатые моллюски передвигаются посредством отдачи воды, выбрасываемой ими из особых полостей тела. При этом кальмары развивают большую скорость движения – 70 км/час.

Своеобразным примером реактивного движения является «бешеный огурец» – растение южного Крыма. Внутри созревшего плода этого растения находится жидкость под повышенным давлением. Оторванный от стебля «бешеный огурец» вырывается из рук и отлетает в сторону за счет отдачи струи жидкости, выбрасываемой из отверстия, образующегося в месте крепления к плодоножке.


^ 3. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение


Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты заключается в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с огромной силой. Выбрасываемое вещество той же силой, но противоположно направленной, в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.

Пусть – масса ракеты в произвольный момент времени , а – ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращения. Заметим, что величина отрицательна. Количество движения ракеты станет равным .

Обозначим через массу газов, образовавшихся за время , а через – их скорость. Тогда количество движения газов, образовавшихся за время равно . Из современной формулировки второго закона Ньютона имеем, что

,

где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

Таким образом,

(5.19)

Раскрывая скобки и учитывая, что и – малые величины за время , можно отбросить произведение как бесконечно малую высшего порядка. Обозначим через скорость истечения газов относительно ракеты, которую называют скоростью газовой струи ракеты. Кроме того, из закона сохранения массы следует, что

.

С учетом этих замечаний выражение (5.19) преобразуется к виду

. (5.20)

Разделим это выражение на и из (5.20) получим

(5.21)

По форме уравнение (5.21) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. Кроме того, в правой части выражение имеет смысл дополнительной внешней силы. Она называется реактивной силой и имеет значение силы, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (5.21) впервые было получено русским механиком И.В.Мещерским и называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Применим уравнение (5.21) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая , получим

(5.22)

Предположим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи . За положительное направление примем направление полета. Тогда в скалярной форме уравнение (5.22) примет вид

.

Следовательно,

(5.23)

Скорость газовой струи может меняться во время полета. Однако для простоты мы примем, что она постоянна. В этом случае



Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна . Тогда предыдущее уравнение дает

откуда

Следовательно,

(5.24)

или (5.25)

Формула (5.25) называется формулой Циолковского.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости. Она показывает, что:

• чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть ее стартовая скорость;
  
• чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
  

Уравнение Мещерского и формула Циолковского получены для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости и малы по сравнению со скоростью света.


^ 4. Задача двух тел. Приведенная масса


Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами и (рис.5.2). Уравнения движения этих точек можно записать в виде

, (5.30)

Рис. 5.2.

По третьему закону Ньютона .

Вычитая из одного уравнения другое, находим



Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй. Он однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозначение

или , (5.31)

которое называется приведенной массой.


Тогда предыдущее уравнение перейдет к виду

, (5.32)

что формально аналогично второму уравнению Ньютона.

Понятие приведенной массы глубокого физического смысла не имеет. Введение этого понятия позволяет определить относительное движение одной материальной точки относительно другой в ее силовом поле.


Контрольные вопросы

1. Что называется центром масс системы материальных точек?
   
2. Что называется механической системой?
   
3. Какие системы называются замкнутыми?
   
4. Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?
   
5. В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?
   
6. Обобщите закон сохранения импульса для случая релятивистских движений.
   
7. В чем заключается постоянство скорости центра масс замкнутой системы?
   
8. На тележке стоят два бака, соединенные между собой в нижней части трубкой с краном. Один из баков наполнен водой. При открывании крана вода переливается в пустой бак. Будет ли при этом двигаться тележка? Когда она остановится? Трение между тележкой и землей не учитывать.
   
9. Зенитный снаряд разрывается на высоте h от земли на большое число осколков, имеющих одинаковую начальную скорость и равные массы. Найдите расстояние между двумя осколками, лежащими на прямой, проходящей через центр инерции всей системы и образующей угол с вертикалью, через время после разрыва.
   
10. Почему удар молотком по тяжелой наковальне, положенной на грудь циркового артиста, оказывается для него безвредным, тогда как такой же удар прямо по телу артиста является гибельным?
    
11. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса.
    
12. Что такое приведенная масса и в чем смысл введения этого понятия?
    

Лекция №6. Законы сохранения


Для замкнутой системы тел остаются постоянными три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Второй закон – закон сохранения импульса изучили в предыдущем разделе. Настоящий раздел посвящен рассмотрению остальных двух законов сохранения в механике.


1. Работа


Понятия работы и энергии широко используются в нашей повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке, или говорят, что «очень устал, очень много работал или энергию затратил и т.д.». Греческое слово «энергия» означает «деятельность». Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Например, совершая работу при заводе часов, мы создаем запас энергии в пружине, за счет которого затем идут часы.

Пусть при перемещении материальной точки В по некоторой траектории на малый отрезок на эту точку действует сила , направление которой составляет угол с направлением перемещения (рис.6.1).

Рис.6.1

Элементарной работой силы на малом перемещении называется произведение величины этой силы на величину перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения:

(6.1)

Из определения (6.1) следуют следующие особенности элементарной работы.

1. Элементарная работа – это скалярное произведение силы на малое перемещение, т.е.

(6.2)

Она может быть представлена в виде

, (6.3)

или , (6.4)

где – проекция силы на направление перемещения, – проекция перемещения на направление силы.

Последние формулы показывают, что перемещение тела обусловлено только касательной составляющей силы , которую называют движущей силой. Причем, эта сила должна быть постоянной на элементарном перемещении . Поэтому элементарная работа равна произведению постоянной движущей силы на величину перемещения.

2. Работа – скалярная величина. Она может быть как положительной, так и отрицательной. При 0 90 работа положительна – сила вызывает перемещение тела; при 90 180 работа отрицательна – сила препятствует движению тела; при =90 сила не совершает работы по перемещению тела. Если направления силы и перемещения совпадают ( = 0), то

(6.5)

3. Если материальная точка перемещается под действием нескольких сил, то совершаемая ими работа равна сумме работ всех этих сил.

4. Если работа совершается переменной силой, то следует разделить участок траектории на элементарные отрезки так, чтобы их можно было считать прямолинейным, и сложить элементарные работы, совершаемые движущей силой на каждом из отрезков этого участка:

, (6.6)

где аb – участок траектории.

Из формулы (6.6) вытекает, что полная работа, совершаемая материальной точкой под действием постоянной движущей силы по всей траектории, равна:

(6.7)

5. 
   Работа является количественным выражением действия силы или взаимодействия тел. Поэтому конечное выражение для вычисления работы определяется видом взаимодействия. Например, если на тело действует только сила тяжести, работа, совершаемая телом, равна: Если тело поднимается вверх, то сила тяжести совершает отрицательную работу, если оно опускается вниз, то – положительную работу. Величина работы не зависит от формы траектории, по которой двигалось тело, а определяется лишь тем, насколько выше или ниже находится конечная точка участка траектории по сравнению с начальной.
   

Силы, работа которых не зависит от формы и длины пути (траектории), а зависит лишь от начального и конечного положения тела, на которое они действуют, называются консервативными. Из этого определения следует, что работа по любому замкнутому контуру для таких сил равна нулю:

=0 (6.8)

К ним относятся все центральные силы, т.е. силы всемирного тяготения (и силы тяжести), силы упругости и др. К неконсервативным силам относятся, например, сила трения скольжения, силы сопротивления движению тел.

Силы трения называют также диссипативными силами, поскольку при наличии в системе материальных точек взаимодействий, осуществляемых этими силами, происходит исчезновение механической энергии и превращение её в тепловую (диссипация – рассеяние, уничтожение).

5. В качестве единицы работы в СИ является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой 1 Н на пути 1 м; в СГС-системе – эрг, равный работе, совершаемой силой 1 дин на пути 1 см.
   
6. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.
   

Мощность P определяется соотношением , где – работа, совершаемая за время . Подставив вместо выражение (6.2) и приняв во внимание определение скорости, получим .

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт).