Учебное пособие Уфа 2008 удк 531(075. 3) Ббк 22. 2я73

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна 1. Механические свойства жидкостей и газов S и выберем на этой поверхности небольшую площадку с площадью ∆S

Подобный материал:

• Учебное пособие удк 159. 9(075) Печатается ббк 88. 2я73 по решению Ученого Совета, 5335.58kb.
• Учебное пособие Уфа 2008 удк 616. 97: 616. 5(07) ббк 55., 7232.11kb.
• Учебное пособие Уфа 2005 удк 338 (075. 8) Ббк, 1087.66kb.
• Учебное пособие Майкоп 2008 удк 37(075) ббк 74. 0я73, 4313.17kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим советом угаэс уфа-2005 удк 330., 1365.17kb.
• Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 338. 24(075. 8) Ббк 65. 290-2я73, 2121.39kb.
• Учебное пособие уфа-2007 удк 330. 01 (075. 8) Ббк 65. 02., 836.31kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 удк 005. 91: 004. 9(075. 8) Ббк 65. 291. 212., 97.7kb.
• Учебное пособие Чебоксары 2007 удк 32. 001 (075. 8) Ббк ф0р30, 1513.98kb.

5. Энергия упругой деформации


Любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией, так как изменяется взаимное расположение отдельных частей тела. Рассмотрим случай растяжения пружины.

Растяжение будем производить очень медленно, чтобы силу , с которой мы действуем на пружину, можно было считать все время равной по модулю упругой силе . Тогда где к, х – соответственно жесткость и удлинение пружины. Тогда работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение (или сокращение) х пружины, равна

(8.12)

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

, (8.13)

если считать, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.
^

Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна

, (8.14)

где – объем стержня.

Отношение энергии к тому объему , в котором она заключена, называется плотностью энергии u. Тогда – плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).

Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна .


6. Кручение


Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид

_, (8.15)

где – модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения.

Пусть имеется цилиндрическая трубка радиуса . Причем толщина ееочень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна . Обозначим через касательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет . При закручивании совершается работа .

Разделим ее на объем трубки . Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(8.16)

Найдем эту же величину иначе.

Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).

Рис. 8.5

В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна

(8.17)

Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение

(8.18)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по . Это дает где – внутренний радиус трубки, – внешний радиус трубки.

Для сплошной проволоки радиуса _{модуль кручения .}


Контрольные вопросы

1. Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.
   
2. Какова физическая сущность упругих сил?
   
3. Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?
   
4. Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?
   
5. Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?
   
6. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?
   
7. Что такое упругое последействие?
   
8. Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.
   
9. Что называется коэффициентом Пуассона?
   
10. Определите энергию деформированного тела.
    
11. Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.
    
12. Какой вид имеет закон Гука при кручении.
    
13. Выведите выражение для модуля кручения.
    

Лекция №9. Механика жидкостей и газов


При изучении движения жидкостей и газов рассматривают сплошную непрерывную среду, не вдаваясь в их молекулярное строение. В такой постановке механика жидкостей и газов является разделом механики сплошных сред. Она охватывает гидростатику, гидродинамику, газовую динамику, теорию упругости и т.д.


^ 1. Механические свойства жидкостей и газов


Как показывает опыт, при движении одного слоя жидкости или газа относительно другого вдоль поверхности их соприкосновения действуют силы, которые называются силами внутреннего трения. Величина этих сил зависит от относительной скорости слоев и стремится к нулю при ее уменьшении. Эти силы действуют только при движении жидкостей и газов, значит, в рассматриваемых в настоящем разделе средах сдвинуть один слой относительно другого (т.е. вызвать деформацию сдвига) можно ничтожными силами. Поэтому жидкие тела не имеют определенной формы и принимают форму сосуда, в котором они находятся.

Экспериментально также установлено, что изменение объема жидкости и газа, помещенных в сосуд под поршнем, вызывается действием сил на жидкость или газ со стороны поршня. Следовательно, в отношении деформации растяжения-сжатия жидкости и газы ведут себя как упругие тела. На практике газы и жидкости подвергаются лишь всестороннему сжатию. В специальных же условиях жидкость может быть подвергнута и растяжению. Газ всегда находится в сжатом состоянии, и при отсутствии внешних сил всегда стремится увеличить свой объем до бесконечности.

Жидкости и газы отличаются в сжимаемости. Газы легко сжимаются, а жидкости практически не сжимаемы. В тех случаях, когда сжимаемость не существенна, механические свойства жидкостей и газов можно считать одинаковыми.


2. Гидростатика


Гидростатика изучает поведение жидкости и газа в состоянии покоя. Она характеризуется понятием давления и двумя законами: законом Паскаля и законом Архимеда. Рассмотрим их.

Упругость жидкости или газа определяется степенью их сжатия и характеризуется силой, действующей отдельными частями жидкости или газа друг на друга или на внешние тела. Сила в расчете на единицу поверхности называется давлением.

Мысленно разделим жидкость на две части некоторой поверхностью ^ S и выберем на этой поверхности небольшую площадку с площадью ∆S (рис.9.1).

Рис.9.1

Жидкость, находящаяся по одну сторону площадки, действует на жидкость, находящуюся по другую сторону, некоторой силой . В неподвижной жидкости в касательном направлении к границе раздела двух слоев силы не действуют. Поэтому сила направлена перпендикулярно к площадке. Отношение величины этой силы к площади ∆S площадки, на которую сила действует, определяет среднее давление жидкости в том месте, где находится площадка. Если размеры площадки устремить к нулю, то мы получим давление p в данной точке жидкости, т.е.

(9.1)

Можно показать, что в покоящейся жидкости или газе на одном уровне давление одинаково во всем объеме (закон Паскаля).

Выделим в жидкости вертикальный цилиндр высотой h, образующая которого параллельна силе тяжести, и площадью сечения ∆S . Силы, действующие на образующие этого объема, равны, так как жидкость покоится. На торцевые стороны поверхности цилиндра действуют силы и , внутри него – объемная сила . Так как жидкость покоится, то силы, действующие на нижнее основание цилиндра сверху и снизу, должны быть одинаковы: где – плотность жидкости.

_, (9.2)

т.е. разность давлений на верхнее и нижнее основание цилиндра равна гидростатическому давлению столба жидкости между этими основаниями.

Пусть теперь цилиндр заполнен другой жидкостью, но не смешивающейся с жидкостью в сосуде или каким-нибудь твердым телом. Предположим, что плотность введенного твердого или жидкого тела равна . Силы, действующие на основания по-прежнему равны и , но или где – вес введенного тела.