Учебное пособие Уфа 2008 удк 531(075. 3) Ббк 22. 2я73

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Зависимость (2.3) 1. Скорость материальной точки при криволинейном движении 2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении

Подобный материал:

• Учебное пособие удк 159. 9(075) Печатается ббк 88. 2я73 по решению Ученого Совета, 5335.58kb.
• Учебное пособие Уфа 2008 удк 616. 97: 616. 5(07) ббк 55., 7232.11kb.
• Учебное пособие Уфа 2005 удк 338 (075. 8) Ббк, 1087.66kb.
• Учебное пособие Майкоп 2008 удк 37(075) ббк 74. 0я73, 4313.17kb.
• Учебное пособие тверь 2008 удк 519. 876 (075. 8 + 338 (075. 8) Ббк 3817я731-1 + 450., 2962.9kb.
• Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим советом угаэс уфа-2005 удк 330., 1365.17kb.
• Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2010 удк 338. 24(075. 8) Ббк 65. 290-2я73, 2121.39kb.
• Учебное пособие уфа-2007 удк 330. 01 (075. 8) Ббк 65. 02., 836.31kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 удк 005. 91: 004. 9(075. 8) Ббк 65. 291. 212., 97.7kb.
• Учебное пособие Чебоксары 2007 удк 32. 001 (075. 8) Ббк ф0р30, 1513.98kb.

^

Зависимость (2.3)

есть векторное кинематическое уравнение движения материальной точки.

Каждую из приведенных формул (2.1) и (2.3) называют также кинематическим законом движения материальной точки. Для полного описания движения точки достаточно знать кинематические законы движения.


2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении


Линию, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Исключив из (2.4) или (2.7) время, можно определить уравнение траектории.

Расстояние, пройденное по траектории, называется путем. Обозначается как . Путь всегда выражается положительным числом. Поэтому пути, пройденные за отдельные промежутки времени, в течение которых материальная точка не изменяет направления своего движения, складываются арифметически.

Отрезок прямой, проведенный из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением. Перемещение обозначается как или . Кроме числового значения перемещение характеризуется также и направлением. Следовательно, перемещение – векторная величина. Поэтому перемещения складываются геометрически.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной ее точке. Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:

(2.4)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина пути равна модулю перемещения, т.е. .

Пусть в какой-то фиксированный момент времени материальная точка находится в положении . В этот момент времени ее координата равна . В более поздний момент времени материальная точка переместится в положение с координатой. За время материальная точка проходит путь . Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если перемещение совершается влево. Отношение пройденного пути к промежутку времени называется средней скоростью материальной точки за время . Таким образом, по определению средняя скорость равна

(2.5)

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых как угодно малых значений , но отличных от нуля.

Вообще, средняя скорость зависит не только от , но и от . Теперь, оставляя момент времени неизменным, промежуток времени будем брать все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда к нулю будет стремиться и пройденный путь . Как показывает опыт, отношение при этом будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от , но уже не будет зависеть от . Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени :

(2.6)

В математике предел, определяемый формулой (2.6), называется производной функции по аргументу . Таким образом, по определению производной следует, что истинная или мгновенная скорость материальной точки есть производная координаты по времени, или производная пройденного пути s по времени:

(2.7)

Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени материальная точка проходит одинаковые пути, движение материальной точки называется равномерным. Разделив путь s на время , за который он пройден, получим величину

, (2.8)

которую в обыденной жизни называют скоростью материальной точки. Она в данном случае совпадает с мгновенной скоростью.

Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на время , дает среднее значение скорости за промежуток времени :

(2.9)


Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: .

Зная мгновенную скорость, можно вычислить путь, пройденный материальной точкой от момента времени до момента по формуле

(2.10)

С учетом данного выражения можно получить формулу для средней скорости:

(2.11)

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначим через а. Таким образом, по определению ускорения

, (2.12)

или

(2.13)

Производная (2.12) называется также второй производной координаты x или пути s по времени и обозначается символами

(2.14)

В общем случае ускорение является функцией времени .

При равноускоренном движении .

В существовании производных координаты по времени убеждаемся опытным путем, а не путем логических рассуждений.


Контрольные вопросы

1. Что называется механическим движением? Перечислите свойства механического движения.
   
2. Что такое система отсчета?
   
3. Как выбрать систему координат?
   
4. Как определить точное время?
   
5. Что такое траектория? В чем отличие уравнения траектории от уравнения движения?
   
6. Что такое перемещение? Всегда ли модуль перемещения равен отрезку пути, пройденного точкой?
   
7. Дайте определение средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.
   
8. Можно ли получить выражения для мгновенной скорости и мгновенного ускорения из кинематических уравнений движения?
   
9. Выясните физический смысл формулы (2.10), определяющей путь.
   
10. Выясните физический смысл средней скорости?
    
11. Начертите графики пути и скорости равномерного движения.
    
12. Начертите графики пути, скорости и ускорения материальной точки при равноускоренном движении.
    
13. Используя выражения (2.7) и (2.14), получите зависимости пути и изменения координаты от времени.
    

Лекция №3. Кинематика материальной точки
при криволинейном движении


^ 1. Скорость материальной точки при криволинейном движении


Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории.

Пусть при своем движении материальная точка, занимавшая положение А в момент времени , через некоторое время оказалась в положении В.


Z



B

A

r₁


r₂


О y


X


Рис.3.1.


Выберем декартовую систему координат. Пусть моменту времени соответствует радиус-вектор , а моменту времени - , тогда за промежуток времени тело получит перемещение

(3.1)

Отношение перемещения к промежутку времени , за который это перемещение произошло, называется средней скоростью за промежуток времени от t до :

(3.2)

Величина вектора средней скорости показывает, как быстро (в среднем) происходит перемещение точки, а его направление определяет, в какую сторону происходит перемещение.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения и виде траектории. Более детальное описание движения мы получим, если разделим путь на ряд последовательных перемещений. При уменьшении этих перемещений будет уменьшаться и величина промежутка времени, следовательно, отношение (3.2) будет стремиться к определенному пределу. Скоростью (точнее мгновенной скоростью) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.2) при :


(3.3)


Из этого определения следует, что:

• скорость есть векторная величина;
  
• скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней в ту сторону, куда движется точка; заметим, что при равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю;
  

Рис.3.2.

• 
  
  скорость представляет собой первую производную перемещения по времени;
  
• скорость является первой производной радиус-вектора по времени;
  
• величина скорости равна первой производной пути по времени;
  
• вектор скорости можно представить в виде
  

, (3.4)

или ; (3.5)

• составляющие вектора скорости по координатным осям равны:
  

, ,, (3.6)

т.е. скорости движения проекций точки вдоль координатных осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси;

• величина скорости равна
  

; (3.7)

• для нахождения закона движения по известной зависимости вектора скорости от времени необходимо интегрировать уравнения (3.3). Например, если известна скорость вдоль оси Ох, то закон движения вдоль этой оси имеет вид:
  

(3.8)

где – координата точки в начальный момент времени.

Если движение равномерное, т.е. , то в силу выражения (3.8)

(3.9)


^ 2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении


В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при – скоростью . Перенесем начало вектора скорости из точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора . Тогда приращение скорости (рис.3.3).

Δυ_τ

υ₁

A

Δv




ΔS

B

Δυ_n ^υ₂

0


υ₂


Рис. 3.3.


Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В:

(3.10)

Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (3.10) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.10) при :


(3.11)

Из этого определения следует, что:

• ускорение есть векторная величина;
  
• ускорение направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости;
  
• ускорение представляет собой первую производную вектора скорости по времени;
  
• ускорение представляет собой вторую производную радиус-вектора по времени; это следует из формул (3.11) и (3.3);
  
• вектор ускорения можно представить в виде
  

, (3.12)

, (3.13)

или ; (3.14)

• составляющие вектора скорости по координатным осям равны:
  

, ,; (3.15)

• величина ускорения равна ; (3.16)