Дифференциальные уравнения (вопросы к экзамену)

Вид материала

Вопросы к экзамену

Подобный материал:

Дифференциальные уравнения

(вопросы к экзамену)

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Дифференциальные уравнения I порядка: общее и частное решение, геометрический смысл, начальные условия, задача Коши. Метод изоклин. (Примеры)
Интегрирование простейших дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения. (Примеры)
Интегрирование простейших дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Интегрирование простейших дифференциальных уравнений первого порядка: линейные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнение Бернулли, уравнение Риккати.
Уравнения, не разрешенные относительно первой производной, уравнения Лагранжа и Клеро.
Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n–го порядка. Понятие линейной зависимости и независимости системы функций. Определитель Вронского, теорема Лиувилля–Остроградского.
Решение однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n–го порядка. Структура общего решения. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n–го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (доказательство на примере уравнения второго порядка).
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тождество Лагранжа и формула Грина.
Приведение неоднородных краевых условий к однородным условиям. Построение функции Грина. Свойства функции Грина
Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Сведение системы дифференциальных уравнений к нормальной системе. Формулировка теоремы существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений.
Решение общих линейных систем дифференциальных уравнений (определитель Вронского, фундаментальная система решений, общее решение однородной системы, общее решение неоднородной системы, метод вариации произвольных постоянных).
Теорема Лиувилля – Остроградского для систем линейных дифференциальных уравнений. Экспонента матрицы. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их решение.
Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость, фазовые траектории. Классификация изолированных состояний равновесия для линейной системы II порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости (доказательство). Функция Ляпунова.
Теорема Четаева о неустойчивости. Функция Ляпунова.
Понятие об устойчивости и асимптотической устойчивости. Формулировка теоремы об устойчивости нулевого решения по линейному приближению. Доказательство для случая различных действительных характеристических чисел.
Теорема Штурма о нулях линейных, однородных уравнений и следствия из нее.
Задача Штурма - Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций. Формулировка теоремы Стеклова.
Вращение векторного поля и индекс особой точки (седло, центр, фокус, узел). Основная теорема алгебры.
Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов (пример).
Метод малого параметра и его применение (пример).
Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Векторные поверхности. Система уравнений векторных линий (характеристики).

Blog

Дифференциальные уравнения (вопросы к экзамену)