Методический комплекс по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Вид материала

Содержание

План изучения темы
4) Запишем частное решение неравенства 5)
ΙΥ Уравнение, вида
Для «сильных» учащихся.

Подобный материал:

МОУСОШ с. Б-Лука

Алгебра и начало анализа 10 класс

Методический комплекс

по теме:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Разработала : учитель математики МОУСОШ с. Б-Лука Вадинского района Пилипенко Н.Ф.

План.

Методическое описание темы. 1-5 стр.
Конспекты уроков по теме (схема) 6-13 стр.
Содержание зачета по теории и методика его организации. 16-27 стр.
Проведение зачета практикума. 13-14 стр.
Конспект урока по углублениюзнаний и выработке навыков. 28-32 стр.
Текст контрольной работы. 15 стр.
Конспект урока-лекции. 16-22 стр.

При анализе изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», как и при изучении других тем, я придерживаюсь схемы анализа темы, которая предусматривает следующее:

Отбор задач, требующих изучение определенного теоретического материала.
Определение понятий, подлежащих изучению.
Приложение изученных свойств к решению задач и упражнений.
Трудные вопросы данной темы (что нужно повторить из ранее изученного, чтобы обеспечить усвоение темы).
Связь данной темы с ранее изученным и значение ее для дальнейшего программного материала.
Что должен знать и уметь каждый ученик после изучения данной темы.
Степень освоения данной темы:

а) чтобы учащиеся знали, умели рассказать, объяснить основной материал темы и умели применять к решению задач;

б) умели решать задачи, аналогичные рассмотренным.

Несомненно, очень важно проводить самоанализ каждого урока, постоянно работая над тем, что следует изменить в методике изложения данного материала и как?

В результате изучения темы учащиеся должны знать теорему о корне, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулы решения простейших тригонометрических уравнений Sin x=a, Cos x=a,

tg x=a, уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные относительно одной из тригонометрических функций Sin x, Cos x, tg x, однородные уравнения первой и второй степени относительно Sin x, Сos x)

Анализ заданий, предлагаемых абитуриентам на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, ставят перед учителем задачу, научить решать тригонометрические уравнения других видов. Тем более в учебном пособии А.Н.Колмогорова «Алгебра и начала анализа» в теме «Примеры решения тригонометрических уравнений» виды уравнений не указываются, что затрудняет выбор способа решений уравнений.

При изучении указанной темы учащиеся чаще всего допускают ошибки:

а) при выборе дуги числовой окружности, когда решают неравенства;

б) вместо частных решений уравнений вида Gos t=+ 1, Cos t=o, Sin t=+ 1, Sin t=o записывают общие формулы решения уравнений;

в) при нахождении наименьшего положительного корня, наибольшего отрицательного корня, а также корней, принадлежащих данному промежутку.

Сложность усвоения вопроса, записанного выше (под буквой «в») обусловлено тем, что в учебнике даётся только одно такое задание. Хотя на выпускных экзаменах выносятся задания, подобные данным.

Работая в старших классах, я столкнулась с проблемой активизации познавательной деятельности учащихся. Игровой метод уже нельзя применять так широко, в отличие от среднего звена. Поэтому я несколько тем давала, используя блочный метод изучения, ознакомившись с ними на страницах журнала «Математика в школе». Чем этот метод мне стал интересен?

Есть возможность подготовить учащихся к лекционному изучению теоретического материала. На протяжении всей серии уроков повторяется самое главное из предыдущих тем, даются обобщения. Кроме того, учащиеся с первого урока понимают, для чего нужно изучать арксинус, арккосинус, арктангенс. Учащиеся видят общую картину изучаемой темы. Учатся решать не частные случаи уравнений, а различные виды уравнений, а также распознавать их. Но самое главное зачётная форма позволяет развивать самодисциплину, самоконтроль у учащихся. И даёт возможность освободить время для решения дополнительных заданий.

ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ:

Блочное изучение теории и первичное закрепление- 5ч.

Проведение зачёта по теории – 2ч.

Проведение зачёта – практикума – 1ч.

Уроки углубления знаний и выработки навыков – 5ч.

Контрольная работа №3 – 1ч.

На первом уроке объясняю тему п. 8 «Арксинус, арккосинус, арктангенс».

Доказательство теоремы о корне.
Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа.

Значительное внимание уделяла объяснению, почему

3) Использовала исторический материал, сообщив учащимся, что современные обозначения появились в 1772г в работах венского математика Шерфера и известного французского учёного Лагранжа, хотя несколько ранее их рассматривал Бернулли, который употреблял иную символику. Приставка « арк » (латин.) arcus (лук,дуга) .

4) Первичное закрепление решением №116,121,122,123

5) Задание на дом: п.8 №117, часть заданий №121,122,123 повторить п.4 (чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций).

6) В оставшееся время, использую модель тригонометрического круга, мелом на единичной окружности отмечаем точки Рt для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенству, т.е. решаются №118,119,120 (а,в). Если времени остаётся достаточно, то решаются все задания названных номеров.

На втором уроке:

Проверяется домашнее задание (используя взаимопроверку учащихся, коллективную проверку). Это сопровождается небольшим шорохом и подвижностью учащихся, которые находят ошибки и объясняют, почему именно так, а не иначе. Чтобы не возникало лишнего шума, пишу на обратной стороне дополнительной доски верные ответы. Проверка укладывается в 2-3 минуты.
Объяснение темы «Решение простейших тригонометрических уравнений» провожу методом беседы с использованием модели тригонометрического круга и плаката, вернее таблицы. На одной координатной плоскости построены графики функций у= Sinx и у=а. Непосредственно из рисунка видно, что при /а/ > 1 уравнение не имеет решений. Этот рисунок наглядно демонстрирует бесконечное множество решений уравнения.

При /а/ < 1 на отрезке уравнение имеет одно решение

x =arcsin a. На отрезке функция Sin убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне и на этом отрезке уравнение имеет один корень. Из рисунка видно, что этот корень есть число х = П – arcsin a.

Действительно, если вычислить

Sin x = Sin (П-arcsin a) = Sin ( П –х ), т.е.

Sin x = Sin(П –х )=а .

Учитывая, что период синуса равен 2П, получаем формулы для записи всех решений:

t = arcsin a +2 П n, t = П -arcsin a + 2Пn .

Удобно эти решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой:

t= (-1)arcsin a + Пk, k Z.

Правомерность такой записи ребята проверяют подстановкой k=2n (чётное число) и k= 2n + 1 (нечётное число).

Если а =1, то числа arcsin a и П- arcsin a совпадают, поэтому решение уравнения принято записывать так

x= П/2+2Пn, n Z.

При a= -1, х=-П/2+ 2Пn, n Z. При а=0 х=Пn, n Z.

2) Аналогично рассматривается решение уравнения Cos x=a . Я давала для подготовки этот вопрос сильному ученику. Решение уравнения tgx=a

Я давала ребятам на самостоятельную работу с учеником, предварительно повторив свойства функции y=tgx (область определения, значений, промежутки возрастания). Затем разбирается пример 9, ctgx=- 3 .

3) для первичного закрепления на уроке решаются задания №136,138,140.

На дом: п.9 №137 (а,б), 139 (а,б), 141 (а,б) с обязательным пояснением. Как уравнения

привести к виду

На третьем уроке:

1) проверка домашнего задания и выяснения непонятных вопросов 2 или 3 минуты. На доске записано решение домашнего задания. Краткий анализ, кто и какие ошибки допустил. Учёт допущенных ошибок даёт направление, на какие вопросы больше составлять устных заданий. Устные упражнения решаются на последних 5 уроках. Иногда, если остаётся время, устные упражнения решаются и на уроках изучения теории.

2) Объяснение темы: «Решение простейших тригонометрических неравенств» целесообразно дать два способа решения:

1) графический

2) с помощью числовой окружности. Второй способ не требует построения синусоиды, а построение числовой окружности требует гораздо меньше времени. Однако 2-ой способ вызывает затруднения, когда выполнять обход против часовой стрелки.

1-ый способ решения ( графический)

Например решить неравенство Sin x<

На одном и том же чертеже построили графики функции у= Sin x и у=

2) На чертеже отметим один из промежутков, в котором Sin x< , т.е. та часть графика функции у= Sin x, которая расположена ниже прямой у=

( на промежутке ВА), начиная от точки А .

3) Вычислим абсциссы точек А и В:

Sin x= ,

Найдём два частных решения этого уравнения на отрезке

если

если

Замечание:

а) если точка В окажется правее А , то берём =1

б) вычисление можно оформить и так А

4) Запишем частное решение неравенства

5) Учитывая периодичность функции у= Sin x, записываем полное решение неравенства:

Ответ:

2-ой способ ( с помощью тригонометрического круга)

1) Начертить единичную окружность

2) Найти на ней точки, ординаты

которых равны

(провести прямую у=

3) Отметить точки, удовлетворяющие

данному неравенству, совершив

обход по часовой стрелке.

4) Чтобы убедиться, что дуга

отмечена верно, можно взять на

ней контрольную точку, хотя бы

х=0. Подставим в данное неравен-

ство Sin o < , т.е. о <

верно

5) Следующие шаги аналогичны в 1 способе с 3 по 5 . Ответ:

После рассмотрения решения неравенства Cos t < (пример 3) в учебнике, рассматривается решение неравенства tg x < 1.

Находим решения неравенства, принадлежащие промежутку ( )

Отмечаем на линии тангенсов число, равно 1. Затем точку А(1;1)

Соединяем с центром числовой окружности и находим точку пересечения с окружностью, точку Р . Множество таких точек- дуга , выделенная на рисунке (обратить внимание, что точка Р не принадлежит рассматриваемому промежутку).

Находим условие, при котором точка

Р принадлежит дуге ,

следовательно

. Значит t

удовлетворяет условию .

Учитывая периодичность тангенса,

получаем ответ:

В конце данного урока перед учащимися ставятся вопросы:

1) что из ранее изученного применяли при изучении темы «Решение простейших тригонометрических неравенств».

Учащиеся отвечают:

а) свойства тригонометрических функций;

б) арксинус, арккосинус, арктангенс числа;

в) решение тригонометрических уравнений (простейших).

Как проверить, правильно ли выбрана дуга?

Ответ: надо взять на это дуге контрольную точку и подставить в неравенство.

На дом: №151-153 (в, г), №154 (б), №155 (б), №156 (а).

В классе для первичного закрепления решить задания №151-153 (а, б), №154 (а), №155 (а) .

Оставшиеся два часа на блочное изучение теории и первичное закрепление отвожу изучению темы «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений» читается лекция с привлечением учащихся (конспект занятия прилагается).

Следующие 2 часа- отводятся на проведение зачётов по теории. Суть зачёта в том, чтобы после него вес учащиеся были готовы к активному применению теории.

Затем урок зачёт – практикум. Домашнюю работу на этом уроке проверяла , собрав тетради пока они пишут зачётную работу. Зачёт – практикум отличается от контрольной работы тем, что даётся значительно большее количество примеров. В каждом номере по 3,4 примера. И обязательно даётся дополнительное задание более сложное. И ребятам представляется выбор заданий. Кроме того, сообщаю ребятам, что оценка будет выше, если вы решите по данному заданию из каждого номера, а не несколько из одного и того же номера. Я давала два варианта

1 вариант

Вычислите:

Решите уравнения:

Решите уравнение:

Решите неравенство:

2 вариант

Вычислите:

Решите уравнение:

Решите уравнение:

Решите неравенство:

Дополнительное задание:

а) Вычислите:

б) Решите уравнение:

в) Упростите:

г) Найдите все корни уравнения на отрезке

На первом уроке углубления знаний и выработки навыков подводим итог по зачету- практикуму и перед каждым учащимся ставлю конкретные проблемы, решив которые он сможет хорошо подготовиться к письменной контрольной работе. На этих оставшихся пяти уроках решаются задания, помещенные под чертой в учебном пособии. Тетради для домашних заданий по данной теме сдается на проверку. Учитель сможет по своему усмотрению распределить материал на этих уроках, в зависимости от степени усвоения его ученика.

(Конспект урока прилагается).

На последнем уроке выполняется контрольная работа в два варианта.

1 вариант 2 вариант

Решите уравнение:

Решите неравенство:

Решите уравнение:

Решите систему уравнений:

Особенности темы:

а) большой объем изучаемого материала;

б) множество тригонометрических формул;

в) задания, выполнение которых требует применение калькуляторов или таблиц;

г) четкое разделение приемов решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Конспект

Урока- лекции.

Тема:

«Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.»

[ 2 часа]

Цель: 1) Научить учащихся решать тригонометрические уравнения.

2)Выработать умение распознавать приемы решения

тригонометрических уравнений и систем уравнений.

3)Совершенствовать навыки учащихся в изучении нового

материала лекционным методом.

План

Вступление. (5 мин.)
Приемы решения тригонометрических уравнений. (1- 3) (30 мин.)
Минутка отдыха. (3 мин.)
Приемы решения Тригонометрических уравнений. (4- 5) (30 мин.)
Решение тригонометрических систем уравнений. (20 мин.)
Домашнее задание. (2 мин.)

Сегодня два часа изучение темы «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.» Мы попытаемся с вами выделить некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. Для этого, пожалуйста вспомните виды уравнения, которые изучали вами ранее. И приведем примеры таких уравнений

линейное уравнение
квадратное уравнение
биквадратное
уравнение третьей степени
дробно- рациональное уравнение

Рассмотрим некоторые приемы решения тригонометрических уравнений.

Уравнение, приводящиеся к алгебраическим с помощью основных формул.
Уравнения, однородные относительно и .

То есть уравнение вида.

Уравнения, решаемые понижением степени.
Уравнение, вида
Уравнение, решаемые преобразованием тригонометрических сумм в произведение.
Уравнение, решаемые преобразованием произведений в сумму.

При этом указываю минимум решаемых уравнений на «3», «4» и «5».

Так, для получения «3» достаточно научиться решать уравнения первого, второго и третьего вида.

Ι Рассмотрим решение уравнений, приводимых к алгебраическим.

Возьмем примеры 1 и 2 из учебного пособия. При этом сразу делаю примечание. Если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы и косинусы, то О.Д.З. переменного – все множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения аргумента Поэтому при рассмотрении таких О.Д.З. переменного не устанавливаются.

А вот решение уравнений, приводящихся к виду

Левая часть которых является произведением нескольких сомножителей, а правая часть равна нулю, обязательно сопровождается нахождения О.Д.З. переменной. Так как произведение обращается в нуль, если хотя бы один из множителей равен нулю, но ни один из остальных не должен терять числового смысла О.Д.З. следует находить и в тех уравнениях, в которых встречаются

ΙΙ Понятие однородных уравнений.

Уравнение, в которых каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным данной степени (первой или второй. Решается пример 4 из учебного пособия.

Значения x, при которых , не являются решениями этого уравнения, так как если , то должно выполняться равенство , а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению

откуда и

ΙΙΙ Уравнение решаемые понижением степени.

Выведение формул понижения степени давались учащимся на дом.

Пример.

ΙΥ Уравнение, вида

Пример:

Получили однородное уравнение, решение которого уже рассматривали.

Υ Уравнение решаемые преобразованием тригонометрических сумм в произведение.

Учащимся уже известны формулы суммы и разности синусов ( косинусов). Посмотреть их они могут на форзаце учебника. А их применение мы рассмотрим на примере.

ΥІ Уравнения, решаемые преобразованием произведения в сумму.

Вывод формул дается предварительно нескольким учащимся. В классе записываются окончательные формулы один из учащихся. Остальные контролируют, верно ли выведены формулы. Если есть разногласия, то выполняется и вывод формул.

Учащимся для вывода указываются исходные формулы сложения (стр.7 учебного пособия)

Пример:

Далее рассматривается решение системы уравнений. Напоминается учащимся, что значит решить систему. То есть найти значение переменных удовлетворяющих оба уравнения.

Решаем второе уравнение системы:

Ответ:

Задание на дом: п. 11, записи в тетрадях.

Решение уравнений не задавала , так как, на мой взгляд, много теоретического материала записано в тетрадях, и рассмотреть нужно все примеры п. 11.

Сильных учащихся можно попросить пр.5 из учебного пособия привести к виду 4.

Методика

проведения

зачета по теории.

Тема:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств.»

[2 часа.]

На проведение зачета по теории отводятся 2 часа. Суть зачета в том, чтобы после него все учащиеся были готовы к активному применению теории. Предварительно определяю объем обязательных знаний, т.е. получение оценки «3» или зачтено. Что же входит в объем обязательных знаний?

Формулировка теоремы о корне (без доказательства); определение арксинуса, арккосинуса; формулы решения простейших тригонометрических уравнений (без вывода), в том числе и частные решения; уметь объяснять решение простейших тригонометрических неравенств и приемы решения тригонометрических уравнений (определение однородных уравнений, формулы, применяемые для понижения степени).

На первом уроке зачета по теории сначала вызывают 2 или 3 учащихся, которые с интересом занимаются математикой. Ребята сами задают им вопросы, а они отвечают. Можно спросить непонятные им моменты и получить консультацию. На этот опрос уходит 15-20 минут. Можно задать и такие вопросы: как будет отвечающий у доски решать то или иное задание. Например: решить уравнение 4Sin x + 11Sin x – 3=0 или 3Sin x + Sin x Cos x =2Cos x. Ученик только объясняет ход решения, но не решает. Затем (15-20 минут) учащиеся, разделившись на группы, одному из лидеров отвечают на вопросы, выносимые на зачет. Лидер должен дать оценку «зачет» или «незачет». И затем учитель в оставшееся время на первом занятии вызывает для ответа тех, кто занимается слабее и медленнее усваивает изучаемое. В конце урока подводится итог первой части зачета, учитывается мнение и учащихся, отмечаются недостатки. Ну, как правило, с этой частью зачета по теории учащиеся справляются успешно. Потому что многократное повторение обеспечивает правильное понимание теории всеми и знание ее в мере, необходимой для выработки умений и навыков.

Второй зачетный урок должен подготовить учащихся к уроку-практикуму, который в свою очередь служит подготовкой к проведению уроков углубления знаний. На лоске записываются вопросы, разбитые на группы.

Для «сильных» учащихся.

I группа. Доказать теорему о корне.

II группа. 1) Понятие арккосинуса.

2) Понятие арксинуса.

3) Понятие арктангенса.

III группа. Вывести формулу корней уравнения:

Cos x = a; 2) Sin x = a; 3) tg x = a;

IV группа. Описать решение неравенства:

Sin t < 0,5; 2) Cos t > 0,5; 3) tg t < 1;

V группа. 1) Формулы, используемые для преобразования суммы в произведение.

2) Формулы, используемые для преобразования произведения в сумму (можно с выводом).

3) Приведите примеры однородных уравнений первой и второй степени относительно Sin x и Cos x.

4)Запишите формулы, используемые для понижения степени уравнения.

Чтобы получить «5», надо из каждой группы выбрать по одному вопросу и ответить на них письменно. Чтобы получить «4», - ответить на 4 выбранных вопроса. Те, кто не пожелали повысить оценку за знание теоретического материала, кого удовлетворило «зачтено», то есть «3», на предыдущем уроке, решали задание, готовясь к зачету по практике. Сдающие зачет сели по одному человеку за парту, другие группами. Задание для них брала из дидактического материала. I вариант С – 13(1), С – 14(а,б,в), С – 16. Решают самостоятельно с последующей проверкой на доске и у доски. Те, кто заканчивал отвечать по теории, присоединялся к нам. Можно разрешить ученикам выбирать из учебника наиболее интересные для них примеры.

Задание на дом: № 124, 125 (устно), № 126 (а, б), 127 (а, б), 138 (в, г), 141 (в), 154 (г), 155 (г), решать все не обязательно, достаточно любые три номера.

Blog

Методический комплекс по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Содержание

План

ΙΥ Уравнение, вида