Элективный курс «Мир тригонометрии»

Вид материала

Элективный курс

Содержание Ход урока Ход урока Тип урока Ход урока Форма проведения Ход урока Форма проведения

Подобный материал:

• Ф. В. Чижова методическая разработка элективный курс, 490.04kb.
• Элективный курс по истории России в 9 классе Тема: «Быт и традиции русского народа», 53.94kb.
• Элективный курс «глобальные проблемы человечества», 121.74kb.
• Курс «Мой мир мой дом» из цикла «Экология и мир человека. Уроки экологического мышления», 1272.57kb.
• В. А. Ходаков моу воротынская средняя школа Перемышльского района Калужской области, 76.7kb.
• Элективный курс «Мир химии» (9 класс) Курс разработан, 529.48kb.
• Элективный курс по астрономии, 93.86kb.
• Пояснительная записка Элективный курс «Природа тел Солнечной системы» предназначен, 50.52kb.
• Элективный курс «Методы решения задач по физике» 10 11 классы 68 часов, 115.81kb.
• Багровникова Светлана Владимировна, к ф. н., доцент элективный курс, 110.32kb.

Ход урока


1. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока.


2. Актуализация, обобщение и систематизация знаний учащихся.

а) Ответы на вопросы.

• Какая формула называется формулой косинуса разности?
  
• Какая формула формулой синуса суммы? синуса разности?
  
• Назовите формул сложения.
  
• Какие тождества называются формулами двойного угла?
  
• Напишите формул двойного угла.
  
• Как записываются формулы суммы и разности синусов двух углов?
  
• Как записываются формулы суммы и разности косинусов двух углов?
  

б) Математический диктант.

а) Найдите cos (α - β), если sin α = 1/3;

cos α =- 2 √ 2/3;

sin β = 0,2;

cos = 2 6/5;

( sin( α + β ))

б) Найдите sin ( α - β) , если sin α = -0,1;

cos α = -3 √ 11/10,

sin β =0,4;

cos β = 0,6

(cos ( α + β))

в) Найдите cos 2 α , если sin α =1/3;

( cos α =-1/3).


г) Найдите sin 2 α , если sin α =0,1;

cos α = -3 √11/10;

( sin α =1/5, cos α = -2 √6/5).


в) Коллективное письменное выполнение упражнений.

№1.Вычислите:

cos34º cos56º- sin34º sin124º

sin153º cos63º+ cos27º sin177º

cos 311º cos19º+ sin131º sin19º

sin14º cos346º - cos14º sin166º

sin α + sin (120º+ α ) + sin (120º- α )

(tg 99º+tg36º) / 1- tg 99º tg36º

(tg1º + tg224º)/ 1+ tg1º tg136º

(tg248º- tg 188º)/ 1+ tg 248º tg188º

(tg260º- tg 35º)/ 1- tg80º tg145º


№2. Упростите выражения:

cos ( π /3+ α ) cos α + sin( π /3+ α ) sin α

sin α sin(α + β ) + cos α cos( α + β)

cos (36º + α ) cos( 54º+ α ) – sin( 36º+ α ) sin( 54º + α )

sin α cos ( α + β ) – cos α sin ( α + β )

cos α + cos ( 60º + α ) + cos ( 60º - α )

( tg 2 α - 2 tg α ) · ( ctg α - tg α )

tg α + 2tg 2 α + 4 ctg 4 α


№ 3. Найдите tg (α + β) и tg (α - β ), если tg α =1/2 и tgβ= =0,28.


№4. Найдите tg (α + β), если известно, что cos α = 3/5, cos β = =7/25, причем α и β - углы 1 четверти.


№5. Известно, что sin α = 3/5 и α - угол 1 четверти.

Вычислите: cos(45º - α)

cos ( 60º + α )

sin 60º + sin (30º + α ) sin(30º - α )


№6. Преобразуйте в произведение:

sin5α + sin 3 α sin 8 α - sin 4 α

cos 27 α + cos 17 α cos 4 α - cos α

sin( 15º+ α ) + sin ( 15º- α ) sin(60º - α ) – sin ( 60º + α )

cos ( 17º + α) + cos ( 17º-α) sin( α + β ) + sin ( α - β )

cos ( 40º - α ) – cos ( 40º + α ) cos ( α + β ) – cos ( α - β )


№7. Докажите тождество:

cos ( α - β ) – cos ( α + β ) = sin 2 α sin2 β ;

(ctg α +1)/ (ctg α -1)= ctg ( 45º - α ).


№8. Верно ли равенство:

(sin 56º + sin14º) / (cos56º + cos14º)= ctg55º;

(sin72º - sin62º)/ (cos72º + cos 62º) = ctg85º?


г) Групповая творческая работа:

Класс делится на 2 группы.

1 группа:

1) Доказать, что tg α + tg β = sin( α + β)/ cos α · cos β

2) С помощью формул, доказанных в предыдущем упражнении, преобразуйте сумму или разность тангенсов:

tg 2 α + tg α tg π /12+ tg π /3 ctg 2x + ctg 4x

3) Проверьте, что: sin10º + cos 50º - cos 20º =0;

sin 87º- sin 59º - sin93º + sin61º = sin1º.


2 группа:

1) Доказать, что tg α - tg β = sin(α - β ) /cos α cos β

2) С помощью формул, доказанных в предыдущем упражнении, преобразуйте сумму или разность тангенсов:

tg 3 β - tg β tg 4 π /5- tg3 π /5 tg5 π /8- ctg π /8


3) Проверьте, что: cos 85º + cos35º -cos 25º

cos 115º- cos35º + cos65º + cos25º = sin5º.

3. Итоги урока.

Смена тетрадей.

Урок № 13: Преобразование тригонометрических выражений.

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: повторение и обобщение всех изученных формул, правил и закономерностей, навыков работы с таблицей Брадиса; научить учащихся использовать их для преобразования тригонометрических выражений и для доказательства тригонометрических тождеств.

Оборудование: таблица Брадиса, таблица «Формулы суммы и разности тригонометрических функций».

Ход урока


1. Организационный момент.

Приветствие. Итоги групповой творческой работы. Анализ допущенных ошибок и недочетов.


2. Повторение, обобщение и систематизация знаний.

а) Что такое радиан? Какая зависимость между радианом и градусом? Заполните таблицу углов в градусной или радианной мере:

Градусы	60		120	150		72			20
Радианы		π /6			5 π /9		3 π/5	3 π /4		2,5

б) Какие свойства тригонометрических функций вы знаете? Вычислите:

3 cos 60º - 2 sin 30º + 6 ctg 60º - 2 ctg 30º

sin(-30º) + cos (-60º) -2 tg(-30º) ctg(-60º)

6 tg (- π /3) ctg(- π /6) + sin (- π /2) – 5 cos (- π )


в) Напишите формулу косинуса суммы и разности, синуса суммы и разности. Вычислите с помощью формул сложения:

cos75º

cos 5 π /4

sin 150º - sin 4 π/3

cos72º cos18º - sin72º sin18º

sin33º cos63º- cos33º sin63º

cos 8 π /3 cos 7 π /3 + sin 8 π/3 sin 7 π/3


г) Какие формулы называются формулами двойного угла? Вычис-лите:

2 sin 22º cos 22º ( cos75º + sin75º)

( sin15º - cos15º) ( cos75º + sin75º)

tg 2 α , если tg α =1, 1 или сtg α = 3/ 5;

sin 2 α , если sin α = 2/3, 0 < α < π/2;

cos 2 α и sin 2 α , если tg α = -2,4 и π/2 < α < 3π/2

Выразите:

1) cos2 α только через sin α ;

2) cos α только через sin 2.


д) Какие формулы называются формулами приведения? Вспомните, чему равняются sin( α + β ) , cos (2 α + β ) ,ctg ( α + β ) и т.д.

Вычислите:

sin570º cos210º tg135º sin13 π /6 cos5 π /4 sin (-630º) tg(-5 π/3) ctg( -945º) ctg 5 π /3


е) Чему равняется сумма и разность синусов и косинусов двух углов? Представьте в виде произведения:

sin48º+ sin36º sin10º + sin 88º

sin66º -sin56º sin2 π /5 – sin π /5

cos 38º +cos 18º cos 3 π/4 + cos π /8

cos44º - cos 38º cos π /6 – cos π /3


Преобразуйте в произведение:

sin 9 α + sin α cos 5 α + cos 9 α

sin(α +12º) + sin(α -12º) cos(23º+ α )- cos (23º- α )

sin (α + β ) – sin (α - β ) cos( α + β ) + cos ( α - β )

sin 42º - sin 12º cos 53º - cos 33º

sin 6 α - sin2 α


3. Объяснение новой темы.

Выражения, содержащие тригонометрические функции, называют тригонометрическими выражениями, а тождество, содержащее тригонометрические функции, называют тригонометрическим тождеством.

В примерах, в которых требуется упростить или тождественно преобразовать тригонометрическое выражение, наряду с тождественными алгебраическими преобразованиями будут использоваться в дальнейшем и все другие тригонометрические формулы. Важнейшие тригонометрические тождества следует хорошо помнить, чтобы применять, в частности, при доказательстве других тригонометрических тождеств.

При доказательстве тождества обычно берут ту его часть (левую или правую), которая представляет собой более сложное выражение, и упрощают ее посредством тождественных преобразований.

Если при этом получим выражение, стоящее в другой части доказываемого тождества, то тождество доказано. Если полученное выражение отличается от другой части тождества, то и другую часть тождества упрощаем, пока не получим в обеих частях тождества одинаковые выражения.


4. Закрепление.

№1. Преобразовать выражения:

ctg α sin2 α - cos2 α

( sin π /4 + cos π/4) ( sin π/4 – cos π/4)

sin ( α – 45º) – cos ( α -45º)

( tg α + ctg α ) sin2 α

2 cos α - cos2 α

cos ( π /3+ α )+ cos ( π /3- α )


№2. Доказать тождества:

( sin α + cos α ) = 1 + sin2 α

ctg α - tg α =2 ctg2 α

sin10º cos20º cos40º = 1/8

1+ 2cos2 α + cos4 α =4 cos α cos 2 α

sin 36º cos72º =1/4

8 cos π /9 cos 2 π /9 cos4 π /9 =1


5. Итоги урока.

Повторить основные тригонометрические тождества.

Повторить формулы сложения для синуса и косинуса.

Повторить формулы двойного угла.

Повторить формулы суммы и разности синусов и косинусов.

Урок № 14: Преобразование тригонометрических выражений.

Тип урока: урок коррекции знаний, умений и навыков.

Цель урока: обобщение и контроль знаний по теме.

Оборудование: таблица «Формулы суммы и разности тригонометрических функций».

Ход урока


1. Организационный момент.

Приветствие. Ознакомление с планом работы.


2. Тренировочные упражнения.

а) Упростите :

sin α + cos α + ctg α sin (- α ) /(1 – cos (- α )) – ctg (- α)

1- 1/ sin α (cos α + ctg α) / 1+ sin α

4 – tg α ctg α (1 – cos α ) (1+ tg α )

(1- cos(- α ))( 1+ cos (- α )) (1+ ctg α ) / ctg α + tg α

tg α ctg(- α ) + cos (- α ) sin (- α ) – sin α ctg (- α )


б) Докажите:

cos α = sin α ctg α cos (- α )/ 1+ sin (- α ) + tg(- α )

tg α /(ctg² α +1) = 1/ cos² α tg α - sin α = tg α sin α

(1+ tg α ) / 1+ ctg α = tg α ctg α - cos α = ctg α cos α

ctg α / (tg² α +1) = 1 / sin² α ( 1+ ctg² α) / 1+ tg² α = ctg² α


3. Самостоятельная работа:

1 вариант.

1. Вычислите:

2 cos 60º - 4/5 tg0º + 2 sin45º

7 ctg π/4 – 6 sin π /2 – 2/3 cos (- π /3)


2.Упростите выражение:

(1 + tg α ) cos α - sin α

sin15º + cos 165º

( ctg² α +1) sin α - cos α

cos 75º - sin 105º

sin (α + β ) + cos (α - β) + ctg ( π /2- α)

sin ( α - β)/ cos α · cos β

sin 240º

(cos α - sin β ) + sin2 α


3. Докажите тождество:

ctg² α cos ² α = ctg² α - cos² α ;


4. Упростите выражение и найдите его значение:

( 1/ 1+ ctg α + cos α ) tg α при tg α = - 3/7


5. Известно, что sin α =0,6 и α - угол 2 четверти. Найдите sin2 α , cos2 α и tg2 α .


2 вариант.

1. Вычислите:

2 sin 30º - ½ cos 60º - 4/5 tg0º -2 sin30º

7 tg +π /4 – 6 cos π /2 – ½ cos (- π /4)


2. Упростите выражение:

( 1+ ctg² α ) sin α - cos α

sin 45º + cos 45º

( tg² α +1) cos α - sin α

cos 25º - sin 155º

cos (α + β ) + sin (α - β ) + tg ( π/2 - α)

cos ( α - β) / sinα sin β

cos 125º

( cos α + cos β) + cos 2 α

3. Докажите тождество: sin α = cos α tg α .


4. Упростите выражение и найдите его значение:

( tg α / (1+ tg² α) + cos α ) cos α при cos α = -3/8.


5. Известно, что cos α =0,8 и α - угол 3 четверти. Найдите sin2 α , cos 2 α и tg 2α


4. Итоги урока. Смена тетрадей.

Урок № 15: Преобразование тригонометрических выражений.

Тип урока: урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков.

Форма проведения: «Круглый стол».

Цель урока: повторить весь пройденный материал с целью подготовки к зачету по всей программе, организуя «Круглый стол».

Оборудование: конспекты всех уроков, таблицы «Формулы тригонометрии», «Основные тригонометрические формулы», «Формулы сложения», «Формулы двойного угла», «Формулы суммы и разности синусов и косинусов», «Значения тангенса и котангенса угла α », «Значения синуса и косинуса угла α ».

Ход урока


1. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели сегодняшнего урока. Проверка у всех конспектов уроков.


2. Вопросы и задания для проведения «Круглого стола».

1. Что называется углом в 1 рад?


2. Какова градусная мера угла в 1 рад? Найдите градусную меру угла, равного:

π рад; π /4 рад; 2 π /3 рад; 3 π/4 рад.


3. Чему равна радианная мера угла в 1º? Найдите радианную меру угла, равного:

180º; 90º; 20º; 150º.


4. Запишите с точностью до 0,01 число: π ; 2 π /3; π/2; 2 π.


5. Сравните числа:

- π /2 и -2; π и 3,2; 2 π и 6,72.


6. Какую окружность называют единичной?


7. В каком направлении поворачивается точка единичной окруж-ности вокруг начала координат на угол радиан, где α - любое действительное число, если: а) α > 0; б) α < 0.

8. Каковы координаты точки М, полученной при повороте точки Р ( 1;0) на угол: а) π /2 рад; б) -3 π /2 рад; в) π рад; г) 2 π рад; д) -2 π рад; е) 3 π рад.


9. Какое существует соответствие между действительными числами и точками единичной окружности?


10. Запишите все углы, на которое нужно повернуть точку Р( 1;0), чтобы получить точку:

а) А(-1;0) ; б) В(0;1); в) С( 2 ; 2).


11. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол ( к - целое число):

а) π /2+ 2 π k; б) 9 π /2+2π k ; в) -5 π /2+2π k.


12. Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла α ?


13. Воспроизведите таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса наиболее часто встречающихся углов (в градусной и в радианной мере).


14. Вычислите:

4 cos π /3 + 3 sin π /3 – tg π /4

2 sin π /4 + 2 cos π /4


15. Каковы знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой четвертей? Сравните с нулем выражение : sin 225º, cos 130º, tg 50º, ctg 105º, sin 2π/3, cos π/4, tg 3π/4, ctg 3π/4


16. Определите знак числа: sin 1, cos 3, tg ( -3,4), ctg 2, sin 2π/3/ cos 2π/3 , sin 3π/4, tg 5π/4 / sin 5π/4

17. Запишите основное тригонометрическое тождество. Выразите из него sin α через cos α и наоборот.


18. Вычислите:

sin α , tg α и ctg α , если cos α = - 7/25 и π/2 < α < π

cos α , tg α и ctg α , если sin α = 0,28 и 0 < α < π /2

19. Запишите формулы, выражающие зависимость между:

а) тангенсом и котангенсом; б) тангенсом и косинусом;

в) котангенсом и синусом.


20. Вычислите:

ctg α , если tg α = 5,2;

tg α , если cos α =0,6 и 0 < α < π /2;

cos α , если tg α =2 и π < α < 3 π /2;

sin α , если ctg α = -2 и π /2 < α < π ;


21. Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса углов α и -β . Вычислите:

cos (- π /6) ; sin (- π/3) ; tg (- π/4).


22. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы

( разности) двух углов, сформулируйте соответствующие правила. Вычислите:

1) cos75º· sin 15º - cos 105º· sin105º

2) sin74º cos16º+ cos74º sin16º


23. Запишите формулы синуса и косинуса двойного угла. Упростите:

( 1 – cos 2 α ) ctg α

cos 2 α + 2sin (- α )


3. Итоги «Круглого стола».


Урок №16: Заключительный урок- повторение.

Тип урока: урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков.

Форма проведения: зачет.

Цель урока: систематизировать и закрепить умения применять тригонометрических формул, контроль знаний по всему элективному курсу.

Оборудование: таблицы «Формулы тригонометрии», «Основные тригонометрические формулы», «Формулы сложения», «Формулы двойного угла», «Формулы суммы и разности синусов и косинусов», «Значения синуса и косинуса угла α », «Значения тангенса и котангенса угла α ».

Ход урока


1. Организационный момент.

Приветствие. Ознакомление с планом работы. Выбор билетов.

2. Зачет.

Билет №1

1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла?

2. Найдите значение выражения: 2sin 30º- cos 60º + 3 tg 45º;

4 ctg 45º - sin 60º + cos 30º


Билет №2

1. Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?

2. Сравните с нулем значение выражения:

sin 143º, cos 108º , tg61º , ctg280º, sin 125º , cos200º, tg160º, ctg200º


Билет №3

1. Выразите sin 763º через синус угла, заключенного в промежутке от 0º до 360º. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?


Билет №4

1. Является ли четной или нечетной функция: у = sin x, y= cos x, y= tg x и y= ctg x?

2. Вычислите: sin(π30º) tg(π45º) cos (π60º) ctg(π30º)


Билет №5

1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5; π / 4; - π/ 2; 10 π .

2. Найдите радианную меру угла, равного: 120º; 270º; - 180º;- 150º.


Билет №6

1. Запишите основные тригонометрические тождества.

2. Упростите выражения: а) 1- sin α · cos α; б) 2- cos α - sin α


Билет №7

1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?

2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла α :

sin (180º+ α ) ; sin( π/ 2+ α) ; cos (270º- α); cos( π - α); tg ( 90º+ + α ); tg( π / 2- α )


Билет №8

1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.

2. Упростите выражение: sin ( α - β ) + (cos α · sin β)/ sin ( α + +β) - cos α · sin β ; sin(α + β ) + cos (α - β )/ cos ( α + β ) – cos (α - -β ).


Билет №9

1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.

2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75º; cos 15º; sin 105º; cos 105º

Билет № 10

1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.

2. Упростите выражение: sin 2 α / 2 cos α; cos⁴ α - sin⁴ α ;

sin 2 α - (sin ² α + cos² α ); 2 tg 15º/ (1- tg² 15º)


3. Итоги урока. Анализ зачета.

Урок № 17: Математический вечер “История учения о тригонометрических функциях”·

Тип урока: итоговое.

Форма проведения: игра “Звездный час”, викторина.

Цель вечера: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся, полученных в ходе изучения элективного курса.

Оборудование вечера: портреты Евклида, Архимеда, Фалеса, Виета, Л.Эйлера, Пифагора, Лобачевского, Чебышева, внесших свой вклад в развитие тригонометрии, все имеющиеся таблицы по тригонометрии, Ф.М.Шустер.”Материал для внеклассной работы по математике”.

Ход вечера


1. Сообщения учащихся:

• Тригонометрические функции у древних греков;
  
• Тригонометрические функции в Индии;
  
• Учение о тригонометрических функциях у народов Средней Азии и Кавказа;
  
• Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе;
  
• Роль Л.Эйлера в развитии теории тригонометрических функций и последующая ее история;
  
• Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.