Geum.ru

Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления > Технологическая схема введения понятия числа Заключение

Вид материалаРеферат

Содержание


2.1. Преемственность в изучении систем счисления в курсах математики и информатики в начальной школе
Упражнения по системам счисления
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6
Глава 2. Методика введения систем счисления в начальной школе.

2.1. Преемственность в изучении систем счисления в курсах математики и информатики в начальной школе

Одной из задач базового курса информатики в средней школе является ознакомление учащихся с принципами кодирования и представления информации в ЭВМ, в связи с чем важное значение имеет формирование представления о двоичной форме записи чисел. Пропедевтическую работу в этом направлении можно осуществлять уже в начальной школе. Для ознакомления учащихся начальных классов с двоичной системой счисления можно:

1) показать возможность записи натуральных чисел с помощью цифр 0 и 1;

2) познакомить с правилом чтения таких чисел;

3) научить сравнивать числа, записанные в двоичной системе счисления. Хотелось бы подчеркнуть, что при формировании понятия о двоичной системе счисления целесообразно опираться на соответствующие знания учащихся о десятичной системе счисления, обращая внимание на сходства и немногочисленные различия в построении указанных систем.

Сравним этапы построения десятичной и двоичной систем счисления.

1 этап Алфавит (цифры)

Десятичная система счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двоичная система счисления: 0, 1.

2 этап Построение и запись чисел. Число в любой системе счисления – конечное упорядоченное множество цифр из ее алфавита. Запись чисел производится простым приписыванием цифр слева направо.

3 этап Чтение чисел. Чтение чисел во всех системах счисления производится слева направо. В десятичной системе счисления каждый разряд в записи числа имеет свое название. Если значность числа не больше трех, называют последовательно каждую цифру, указывая ее разряд (используя общепринятые сокращения). Если значность числа больше трех, в его записи выделяют классы, затем читают числа каждого класса с указанием названия его единиц. В двоичной системе счисления разряды не имеют специальных названий. При чтении числа последовательно называют каждую цифру в его записи.

4 этап Построение числовых выражений и выражений с переменными. Составляются выражения из чисел, имен переменных и знаков арифметических операций.

5 этап Построение математических предложений. Составляются предложения из чисел, имен переменных, знаков арифметических операций и знаков бинарных отношений (<,>,=). 4 и 5 этапы выполняются в указанных системах счисления аналогичным образом. Алгоритмы сравнения натуральных чисел в двоичной и десятичной системах счисления также одинаковы.

Расшифруй послание: УКВИВИРП ИЛИВАТСОП ЕНМ.

2) Напиши, какое слово закодировано, воспользовавшись таблицей кодов «0» - 01101111; «м» - 01101101; «д» - 01100100

код – 01100100 01101111 01101101 слово?

3) Запиши слово «еж», воспользовавшись таблицей кодов «ж» - 01110110; «е» - 01100101. При ознакомлении с правилом записи чисел с помощью цифр 0 и 1 в данной программе используется методический прием, предложенный А.Лельевр. Необходимо обуть в сапожки цаплю, Чиполлино, собачку и осьминога (каждый персонаж иллюстрирует определенный двоичный разряд, в зависимости от того, сколько сапожек ему требуется). Если герой обут, в соответствующей клетке записывают 1, если босиком – 0.


Таким образом, изображенный на экране компьютера рисунок помогает детям более осознанно воспринимать такое достаточно сложное для них математическое понятие, как двоичная запись числа. Опыт использования предложенной методики в школах города Омска показал, что изучение двоичной системы счисления с опорой на выявленные преемственные связи с десятичной системой в сочетании с применением описанной компьютерной программы позволяет успешно формировать первичные представления младших школьников о двоичной форме представления информации в ЭВМ.

Упражнения по системам счисления

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.

Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.

Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления не ставится, а для остальных – ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т. е. 10 десятичное – это «десять». Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть «один ноль в восьмеричной системе счисления».

Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число «n» носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита. А, Е, С, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как «10» .

Рекомендации к выполнению упражнений:

1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.

2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.

2. Решите задачу «Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа» в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).

3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с «фиксированной запятой» в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:

0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625.

4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления. 1) 1996, 2) 1А2В, 3)FFF, 4)C87,543, 5)D00,00Е, 6)110,101.

5. Составить таблицу сложения 8-ой системе
0
1
2
3
4
5
6
7

10
0+10=
1+10=
2+10=
3+10=
4+10=
5+10=
6+10=
7+10=

7



1+7=
2+7=
3+7=
4+7=
5+7=
6+7=
7+7=

6






2+6=
3+6=
4+6=
5+6=
6+6=



5









3+5=
4+5=
5+5=






4












4+4=










6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)
5
6
7
8
9
А
Е
С
D
E
F

1












1+9
1+A
1+B
1+C
1+D
1+E
1+F

2









2+8
2+9
2+A
2+B
2+C
2+D
2+E
2+F

3






3+7
3+8
3+9
3+A
3+B
3+C
3+D
3+E
3+F

4



4+6
4+7
4+8
4+9
4+A
4+B
4+C
4+D
4+E
4+F

5
5+5
5+6
5+7
5+8
5+9
5+A
5+B
5+C
5+D
5+E
5+F

6



6+6
6+7
6+8
6+9
6+A
6+B
6+C
6+D
6+E
6+F

7






7+7
7+8
7+9
7+A
7+B
7+C
7+D
7+E
7+F

8









8+8
8+9
8+A
8+B
8+C
8+D
8+E
8+F

9









9+8
9+9
9+A
9+B
9+C
9+D
9+E
9+F

A












A+9
A+A
A+B
A+C
A+D
A+E
A+F

B















B+A
B+B
B+C
B+D
B+E
B+F

C


















C+B
C+C
C+D
C+E
C+F

D





















D+C
D+D
D+E
D+F

E
























E+D
E+E
E+F

F



























F+E
F+F


7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения «в столбец», известными Вам еще с начальной школы.

FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятеричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:

«10-ричная->», «16-ричная->», «2-ичная->», «8-ричная->, «10-тичная»

В таблицу поместите следующие числа:

2,8,10,16,4,64,100,256,5,65,101,257,1024,1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ричную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.

Результаты изобразите в таблице:

«16-ричная-> 10-тичная-> 8-ричная-> 2-ичная-> 16-ичная»

В таблицу поместите следующие числа:

F16, FF16, FFFF16, 1016, 10016, 1000016

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:

1/2, 1/3,1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.

Примеры:

0,(3)=3/9=1/3

0,(15)=15/99=5/33

Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать «максимальную» цифру системы счисления.

Примеры:

0,(01001)2= 010012/11111,=9/63=178

0,(1F)16=1F16/FF16=31/(162-1)

0,(21)3=213/223=7/8

Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.

0,(1)2, 0,(10)2, 0,(1)3, 0,(10)3, 0,(1)5, 0,(10)5, 0,(1)8, 0,(10)8, 0,(1), 0,(10), 0,(1)16, 0,(10)16, 0,(2)3, 0,(20)3, 0,(4)5, 0,(40)5 , 0,(7)8, 0,(70)8, 0,(9), 0,(90),0,(F)16, 0,(FO)16.

12. Уже в средней школе обучают: чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть. И отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятеричную?

13. Используя правила умножения целых чисел «в столбик» возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116, выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.