Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления > Технологическая схема введения понятия числа Заключение

Вид материала

Реферат

Содержание Алгоритм умножения Алгоритм деления Xxxii, xlviii, lvi, lxxv, cxxxix, clxiv, cdxxi,cmlxxiii).

Подобный материал:

• Вопросы к гак по методике преподавания начального курса математики, 23.01kb.
• Экзаменационные вопросы по курсу "Методы программирования", 32.44kb.
• Вткс02. информационно-логические основы вычислительных машин функциональная и структурная, 701.73kb.
• Тема : Кодирование чисел. Системы счисления, 32.22kb.
• Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом, 31.41kb.
• Методика использования дидактических игр на уроках математики для активизации познавательной, 25.3kb.
• Урок по математике в 4 классе тема: Нумерация многозначных чисел, Закрепление, 51.29kb.
• Счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень, 88.12kb.
• Примерный перечень вопросов к зачету по дисциплине «Информатика» для студентов 1 курса, 19.65kb.
• Программа курса основы программирования дисциплина обязательная, привязанная к семестру., 76.11kb.

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263. 428

Видим, что для получения ответа нам пришлось ^х263

Умножить 428 на 3,6, и 2,т.е. умножить многозначное 1284

Число на однозначное; но, умножив на 6, результат +2568

записали по-особому, поместив единицы числа 856

2568 под десятками числа 1284, так как умножали 112564

на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:

- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

- складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4*10²+2*10+8 и тогда 428*3=(4*10²+2*10+8)*3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4*10²)*3+(2*10)*3+8*3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12*10²+6*10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12*10² +6*10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1*10+2, а число 24 в виде 2*10+4. Затем в выражении (1*10+2)*10²+6*10+(2*10+4) раскроем скобки: 1*10³+2*10²+6*10 +2*10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6*10 и 2*10 и вынесем 10 за скобки: 1*10³+2*10²+(6+2)*10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1*10³+2*10² +8*10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428*3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить x=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₀ на однозначное число у:

x*y=(a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₀)*y=(a_n*y)*10+(a_n-1*y)*10^n-1+…+a₀*y, причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения a_k*y, где 0<k<n, соответствующими значениями a_k*y=b_k*10+c и получаем: x*y= (b_n10+c_n)*10ⁿ+(b_n-1*10+c_n-1)*10^n-1+…+(b₁*10+c₁)*10+(b₀*10+c₀)=b_n*10ⁿ⁺¹+(c_n+b_n-1)*10ⁿ+…+(c₁+b₀)*10+c₀. По таблице сложения заменяем суммы c_k+b_k-1 , где 0<k<n и k=0,1,2,..,n, их значениями. Если, например, c₀ однозначно, то последняя цифра произведения равна m, а к скобке (с+b₀) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х*у.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_na_n-1…a₁a₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.
   
2. Умножаем цифры разряда единиц числа х. на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
   
3. Если произведение цифр единиц числа х. на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁+c₀, где c₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ – перенос в следующий разряд.
   
4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп.2 и 3.
   
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
   

Как известно, умножение числа х. на число вида 10* сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей.

Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428*263. Представим число 263 в виде суммы 2*10²+6*10+3 и запишем произведение 428*(2*10²+6*10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428*(2*10²)+428*(6*10)+428*3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428*2)*10²+(428*6)*10+428*3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде. Пусть х. и у – многозначные числа, причем y=b_m*10^m+b_m-1*10^m-1+…+b₀. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать: x*y=x*(b_m*10^m+b_m-1*10^m-1+… +b₀)=(x*b_m)*10^m+(x*b_m-1)*10^m-1+…+x*b₀. Последовательно умножая число х на однозначные числа b_m, b_m-1,…, b₀, а затем на 10^m, 10^m-1,…, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х*у. Приходим к алгоритму умножения числа

x=a_na_n-1…a₁a₀ на число y=b_mb_m-1…b₁b₀

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.
   
2. Умножаем число х на младший разряд b₀ числа у и записываем произведение x*b₀ под числом у.
   
3. Умножаем число х на следующий разряд b₁ числа у и записываем произведение x*b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению x*b₁ на 10.
   
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления x*b_k..
   
5. Полученные k+1 произведения складываем.
   

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428*3=(400+20+8)* 3=400*3+20*3+8*3=1200+60+24=1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);

- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.


Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0<r.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9*6-54. Если же надо разделить 51 и 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51-45=6. Таким образом 51=9*5+6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

_51|_9

45. 5
    

6

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378= 4q+r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0<rq – условию 4q<378<4(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20,30,40 и т.д. Поскольку 4*90=360, а 4*100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q=90+q₀. Но тогда должны выполняться неравенства: 4*(90+q₀)<378<4* (90*q+q₀+1), откуда 360+4q₀<378<360+4*(q₀+1) и 4q₀<18<4(q₀+1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀=4 и, следовательно, неполное частное q-90+4=94. Остаток находится вычитанием: 378-4*94=2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378-4*94+2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

378| _4

-36 94

18

-16

2

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0<r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q<4316<52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20,30,40,50 и т.д. Поскольку 52*80=4160, а 52*90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т. е. q=80+q₀. Но тогда должны выполняться неравенства:

52*(80+q₀)<4316<52*(80+q₀+1),

4160+52q₀<4316<4160+52*(q₀+1),

52q₀<156<52*(q₀+1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52*3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

43161|_52

-416

156

-156

0

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если a=b, то частное q=1, остаток r=0.
   
2. Если a>b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a<10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.
   
3. Если a>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
   

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором находим частное q₁ чисел d₁ и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) умножаем b на q₁ и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁.

в) проводим черту под bq, и находим разность r₁=d₁-bd₁.

г) записываем разность r₁ под числом bq₁ , приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d₂ с числом b.

д) если полученное число d₂ больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q₂ записываем после q₁.

е) если полученное число d₂ меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d₃, большее или равное b . В этом случае записываем после q₁ такое же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1,2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d₃, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r=d₃ .


2.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления.


Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений – одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.

Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой: нумерация, сложение и вычитание, умножение и деление.

Основные задачи учителя при изучении темы «Многозначные числа» - сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице второго класса; опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа; обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел. С этой целью на уроках, предшествующих изучению нумераций многозначных чисел, включают такие задания:

1. Сколько единиц в одном десятке, сколько десятков в одной сотне. Не сколько одна сотня меньше тысячи, во сколько раз десяток большие единицы, во сколько раз десяток меньше сотни, как по-другому называется десяток миллиметров, сотня сантиметров и т. п.?
   
2. Какое число состоит из 7 сотен 5 десятков; из 2 единиц III разряда, 2 единиц II разряда и 2 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числе 995? Сколько в нем всего единиц, сколько всего десятков? Замените число 380 (308, 388) суммой разрядных слагаемых.
   
3. Присчитывайте (отсчитывайте) по 1 (по 10,50,100), начиная с числа 500; назовите число, следующее при счете после числа 199, предшествующее числу 300.
   
4. Запишите число 909. Сколько всего цифр потребовалось для записи? Сколько различных цифр использовано? Что обозначает каждая цифра? Запишите этими же цифрами другое число. Что теперь обозначает цифра 0 (отсутствие единиц первого разряда)? Запишите с помощью цифры 8 трехзначное число. Что обозначает цифра 8, стоящая в числе на первом (втором, третьем) месте справа?
   

При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.

Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их познавательную деятельность.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное число – 1000. Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10ед.= 1дес.; 10 дес.=1сот.; 10сот.=1 тыс.).

Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разряда классов). Полезно эти пособия иметь не только для обще классного, но и для индивидуального пользования.

Учитель объясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т.д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч, наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом. Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:

10ед.тыс.= 1дес.тыс., 10дес.тыс.= 1сот.тыс., 10сот.тыс.= 1млн., расположение ее столбиком рядом с предыдущими записями.

Затем идет работа с нумерационной задачей, в которой обозначены названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч. Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу). Полезно затем сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I считают и группируют единицы, а во II классе – тысячи.

Далее изучают числа II класса (круглые тысячи). Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов. Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7,97,697,600 и т.п.), а затем – числа II класса (7тыс., 47тыс., 547тыс.). Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670тыс., 600тыс. и т. д.

Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице, (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса. На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса: «Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и 5 десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч). Сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.? сложите числа 500000+40000+8000; замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц; при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, то есть пишут цифрами на четвертом, пятом, шестом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.

На уроках при изучении нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран, достижения в завоевании космоса. С этой целью полезно организовать сбор детьми интересных числовых данных с записью их в индивидуальные или общеклассные справочники.

Далее, дети не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичной составе чисел, а также на их натуральной последовательности. Все эти вопросы рассматриваются во взаимосвязи.

На следующем этапе переходят к закреплению знаний и умений учащихся. Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин – замена мелких единиц крупными и обратно, замена мелких единиц крупными и обратно, замена крупных единиц мелкими. В начале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил.

Например: 50=5дес., 100=10дес., 120=10дес.+2ед.=12дес.

Сравнивая числа, дети делают вывод, чтобы выразить в десятках круглое число, надо отбросить в нем справа один нуль. Так же можно подвести детей к выводу о замене единиц сотнями (отбросить в числе справа три нуля). Аналогично учащиеся подводятся к выводу о том, как произвести обратное преобразование, то есть как заменить десятки, сотни и тысячи простыми единицами (к числу десятков надо приписать справа один нуль, к числу сотен – два, к числу тысяч – три нуля).

Заканчивая работу над темой, целесообразно систематизировать знания детей по нумерации. С этой целью можно предложить учащимся охарактеризовать какое-либо данное многозначное число, например, 9409.

Понимать происхождения математических понятий, роли и значения математического метода исследования реального мира является необходимым условием сознательного и глубокого усвоения детьми школьной программы по математике. Уроки по учебнику Л.Г. Петерсон (2 кл.) обладают также огромными возможностями эмоционального воздействия на детей, организации их творческой деятельности и формирования познавательных интересов.

Формы проведения этих уроков могут быть самыми разнообразными, однако они пройдут тем успешнее, чем активнее дети будут включены в исследовательскую творческую деятельность. Например, как уже отмечалось, можно предложить им заранее (примерно за 1-2 недели до изучения данной темы) прочитать текст учебника на стр. 46-58, а затем за несколько дней до уроков разбить этот текст на части и распределить между учениками для пересказа. Тогда рассказчиком будет не учитель, а сами дети. При этом рассказ может дополняться в ходе обсуждения различной информацией, которую учитель и дети с помощью родителей найдут в книгах, журналах, энциклопедиях – любой популярной литературе по истории математики. На этих уроках уместно использование соответствующих таблиц, иллюстраций, диапозитивов, фрагментов учебных кинофильмов и даже инсценировок. С большим интересом обычно дети выполняют задания по содержанию тем, например:

- назовите число 21, пользуясь папуасскими названиями «окоза» и «урапун»;

- изобразите равенства 3+2=5 и 6-2=4 с помощью сложения и вычитания совокупностей предметов;

- запишите число 1 328 в египетской системе записи чисел;

- запишите арабскими цифрами число, записанное в вавилонской нумерации (60х2+34=120+34=154)

- запишите арабскими цифрами числа: XXXIV, CXVIII, DCXXIX, CMLXVII (34, 128, 629, 967).

- запишите римскими цифрами: 23, 48, 154, 56, 75, 139, 164,421,973

(XXXII, XLVIII, LVI, LXXV, CXXXIX, CLXIV, CDXXI,CMLXXIII).

Для подготовки детей к изучению многозначных чисел проводится игра «Путешествие во времени». Для этой игры каждый ребенок должен подготовить набор цифр от 0 до 9. К доске выходят три ученика (например, Саша, Лена, Таня). Класс на «машине времени» переносится в те времена, когда люди считали предметы с помощью пальцев. Учащиеся у доски – «счетчики». Определяется их порядок справа налево, например:


III II I

Саша – Лена - Таня

считает сотни считает десятки считает

единицы


Значит, пальцы Тани будут обозначать число единиц, пальцы Лены – число десятков, а Сашины пальцы – число сотен. Чтобы всему классу было понятно, сколько пальцев согнуто у каждого счетчика, надо условиться вместо непосредственного загибания пальцев показать соответствующую цифру (например, если Тане надо загнуть три пальца, то она показывает цифру 3). Учитель или кто-либо из учеников предлагает «папуасский» вариант чтения чисел, а учащиеся должны перевести его на современный язык. Так, если учитель называет число: 8 пальцев Саши, 2 пальца Лены, 5 пальцев Тани, то «счетчики» показывают карточки: 8, 2, и 5, а учащиеся класса читают число: восемьсот двадцать пять.

На 16-м уроке можно предложить учащимся моделирование чисел в пределах миллиона. Опишу примерный ход игры:

- назовите число: 6 пальцев Саши, 3 пальца Лены, 9 пальцев Тани (639).

- увеличьте его на 1. Сколько пальцев должны загнуть Саша, Лена и Таня? (Таня показывает число 10 и условно «передает» 1 десяток Лене, оставляя себе 0. Лена заменяет число 3 числом 4, а Саша продолжает показывать 6. Получается число 640).

- назовите число 8 пальцев Саши, 9 пальцев Саши, 9 пальцев Лены и 9 пальцев Тани (899).

- увеличьте его на 1(повторяется процесс наполнения соответствующих разрядов 10 единицами и увеличения следующего старшего разряда на 1, Получается число 900).

- какое самое большое число могут показать Саша, Лена и Таня? (999). Какое число ему предшествует? (998). Какое число за ним следует? (Повторяется процесс наполнения каждого разряда 10 единицами, однако Саше некому передать единицу высшего разряда). Поэтому вызывается еще 1 ученик и они вчетвером показывают 1 000. Таким же образом продолжается рассмотрение четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел, например:

5 763, 9 999, 10 000, 24 999, 25 000, 99 999, 100 000, 386 903.

На 17-м уроке игра продолжается. Аналогично рассматриваются несколько шестизначных чисел. А потом учитель ставит вопрос – что делать. Если будут заполнены все разряды, включая сотни тысяч? Вводятся один за другим счетчики для миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, затем для миллиардов, десятков миллиардов, сотен миллиардов. Очевидно. Что для чтения чисел, которые показывают счетчики, надо назвать. Сколько в этих числах миллиардов, миллионов, тысяч и единиц. Чтобы легче было называть числа. Дети обычно предлагают счетчикам сгруппироваться по три. Появляются классы – единицы, тысячи, миллионы и миллиарды:

Счетчики показывают цифры в своих разрядах, а остальные учащиеся называют все число, например: 4 352 716, 9 999 999, 10 000 000, 57 000 820, 99 999 999, 100 000 000, 386 079 999, 386 080 000, 999 999 999, 1 000 000 000, 35 912 042 140, 709 566 000 015 и др.для этих чисел можно обсуждать вопросы, аналогичные тем, которые ставились на предыдущем уроке.

Таким образом, игра поможет учащимся еще до введения многозначных чисел освоить соответствующую терминологию, структуру многозначных чисел, переход из одного разряда в другой. Здесь же можно обсудить с ними еще 2 важных момента:

1. Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разные числа.
   
2. Отсутствующие разряды необходимо обозначать нулями. Например, если в числе 709 566 000 075 убрать нули (учащиеся с цифрой 0 отходят в сторону), то все разряды сместятся и полученное новое число 7 956 675 выражает совершенно другое количество.
   

Игру «Путешествие во времени» можно использовать в дальнейшем на всех уроках по нумерации многозначных чисел, меняя местами « счетчиков» (тех, кто показывает числа) и «путешественников» (тех, кто их называет).

Итак, на данных уроках у детей не только формируется представление об основных этапах развития понятия числа, но и готовится изучение следующей темы – многозначные числа. Здесь можно также предложить учащимся творческие работы: написать небольшие рефераты, сделать рисунки. Дополнительный материал исторического характера можно найти в указанной выше книге Н.Я. Виленкина, И.Я. Депмана «За страницами