Министерство образования и науки Российской Федерации Учебно-методическое объединение вузов по образованию в области информационной безопасности сборник примерных программ учебных дисциплин по направлению подготовки (специальности)
| Вид материала | Документы |
- Министерство образования и науки Российской Федерации Учебно-методическое, 3299.35kb.
- Ступности (государственной, воинской, транснациональной и иной) мы будем, 86.46kb.
- Лекция по теме № Условия конкретного преступления, 298.33kb.
- Расписание занятий на цикле сертификационного усовершенствования для интернов, 88.88kb.
- Министерство образования Российской Федерации Министерство путей сообщения Российской, 653.58kb.
- Министерство образования Российской Федерации Министерство путей сообщения Российской, 657.68kb.
- Общая характеристика работы Актуальность темы, 398.26kb.
- Рекомендации по организации профилактической работы, направленной на предупреждение, 1352.37kb.
- История исторической науки, 496.22kb.
- Министерство здравоохранения и социального развития Российской Федерации Государственное, 408.11kb.
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов (тем) дисциплины
Раздел 1. Элементы векторной алгебры.
Тема 1. Введение. Системы линейных уравнений.
Алгебра, геометрия и их составные части. Взаимосвязь между алгеброй и геометрией. Представление об аналитической геометрии как об аналитической интерпретации геометрии Евклида. Связь со школьным курсом математики. Литература по алгебре и аналитической геометрии и методика ее изучения.
Основные определения для систем линейных уравнений. Равносильность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
Тема 2. Числовые матрицы. Определители второго и третьего порядка с действительными коэффициентами.
Понятие числовой матрицы. Операции сложения матриц, умножения матриц на число и умножения матрицы на матрицу. Определители второго и третьего порядка. Свойства определителей. Алгебраическое дополнение. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
Тема 3. Векторная алгебра.
Векторы на плоскости и в пространстве и линейные операции над ними. Коллинеарность и компланарность, равенство векторов. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость систем векторов. Описание базисов плоскости и пространства. Координаты векторов в базисе плоскости и пространства. Действия над векторами, заданными своими координатами. Критерии коллинеарности и компланарности векторов в координатах. Проекции вектора на числовую ось. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Раздел 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Тема 4. Прямая линия на плоскости.
Уравнение линии на плоскости. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение точек относительно прямой. Уравнение биссектрисы угла между прямыми.
Тема 5. Линии второго порядка на плоскости.
Эллипс, его каноническое уравнение и свойства. Гипербола, её каноническое уравнение и свойства. Парабола, ее каноническое уравнение и свойства. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Оптические свойства кривых второго порядка.
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии в пространстве.
Тема 6. Плоскость и прямая в пространстве.
Компланарность векторов. Критерии компланарности. Базис пространства. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Вычисление площади треугольника и объема тетраэдра методами векторной алгебры.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Параметрические уравнения плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
Параметрические и канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Тема 7. Поверхности второго порядка.
Классификация поверхностей второго порядка. Использование метода секущих плоскостей для исследования формы поверхностей, заданных каноническими уравнениями.
Раздел 4. Элементы высшей алгебры.
Тема 8. Алгебраические операции и их свойства. Кольца и поля.
Понятие алгебраической операции. Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Определение кольца. Простейшие свойства. Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Определение поля. Простейшие свойства. Подполе.
Тема 9. Отношение делимости в кольце целых чисел. Кольца и поля вычетов.
Деление с остатком. Остаток суммы и произведения. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Алгоритм Евклида нахождения НОД. Линейное представление НОД. Взаимно-простые числа и их свойства. Наименьшее общее кратное (НОК). Каноническое разложение числа. Связь между НОД и НОК. Диофантовы уравнения. Кольца вычетов. Критерий поля. Вычисление обратных элементов в полях вычетов с использованием диофантовых уравнений.
Тема 10. Поле комплексных чисел.
Задание множества комплексных чисел. Операции сложения и умножения комплексных чисел. Доказательство структуры поля. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Геометрическая интерпретация множества комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни n-ой степени из комплексного числа.
Тема 11. Матрицы и определители над полем.
Кольцо матриц над кольцом. Перестановки множества {1,…,n} и их классификация. Определители квадратных матриц над полем. Свойства определителей. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица. Критерий обратимости.
Элементарные преобразования матриц. Связь с умножением на элементарные матрицы. Эквивалентные матрицы. Подматрица матрицы. Минор k-го порядка. Два определения ранга матрицы. Ступенчатая матрица. Эквивалентность любой матрицы некоторой ступенчатой. Нахождение базиса системы столбцов матрицы. Вычисление ранга матрицы по эквивалентной ступенчатой матрице. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Тема 12. Арифметические векторные пространства. Линейные преобразования пространств.
Понятие n-мерного арифметического векторного пространства. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости. Существование базиса у любой конечной системы векторов. Базис арифметического пространства. Координаты вектора в базисе. Равномощность базисов. Матрица перехода. Подпространства арифметических пространств, размерность подпространства.
Линейные преобразования векторных пространств. Теорема о единственности линейного преобразования. Матрица преобразования в базисе. Нахождение матрицы преобразования при переходе к новому базису.
Евклидовы пространства. Скалярное произведение, норма и метрика в векторных пространствах. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Матрица Грама.
Тема 13. Исследование систем линейных уравнений над полем.
Матричная форма записи систем линейных уравнений. Фундаментальная система решений (ФСР) системы однородных линейных уравнений. Алгоритм нахождения ФСР. Связь множества решений произвольной системы линейных уравнений с множеством решений соответствующей однородной системы.
Тема 14. Многочлены над полем.
Понятие многочлена. Степень многочлена. Операции сложения и умножения. Степени суммы и произведения многочленов. Деление с остатком двух многочленов. Теорема Безу. Интерполяционная формула Лагранжа. Унитарные многочлены. Алгоритм Евклида нахождения НОД двух многочленов. Неприводимые многочлены и их свойства. Использование многочленов для построения колец и полей.
Заключение.
Основные направления развития алгебры и геометрии, их связь и историческая преемственность. Современная алгебра и геометрия, пути их развития. Место алгебры и геометрии в системе естественных наук. Литература для дальнейшего изучения отдельных направлений в алгебре и геометрии.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
| № п/п | Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин | № № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1. | Физика | Х | Х | Х | |
| 2. | Математический анализ | Х | Х | Х | Х |
| 3. | Дискретная математика | | | | Х |
| 4. | Теория вероятностей и математическая статистика | Х | | | Х |
| 5. | Теория информации и кодирования | | | | Х |
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
| № п/п | Наименование раздела дисциплины | Лекц. | Практ. зан. | Лаб. зан. | Семин. | СРС | Все-го |
| 1. | Элементы векторной алгебры. | 4 | 4 | - | - | 5 | 13 |
| 2. | Элементы аналитической геометрии на плоскости. | 6 | 6 | - | - | 6 | 18 |
| 3. | Элементы аналитической геометрии в пространстве. | 8 | 8 | - | - | 6 | 22 |
| 4. | Элементы высшей алгебры. | 18 | 18 | - | - | 26 | 62 |
6. Лабораторный практикум: не предусмотрен
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
не предусмотрены.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
- Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия. - М.: Гелиос АРВ, 2005.
- Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: ФМЛ, 2002.
- Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - С-Пб.: Профессия, 2007.
- Сборник задач по алгебре. Под ред. Кострикина А.И. - М.: УРСС, 2009.
б) дополнительная литература
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: ФМЛ, 2001.
- Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: РХД, 2002.
- Васильев А. Maple 8. Серия: Самоучитель. Изд-во: Вильямс, 2003.
- Курбатова Е. А. Matlab 7. Серия: Самоучитель. Изд-во: Вильямс, 2006.
- Поршнев С.В. Mathematica 7. Серия: Основы работы и программирования. Изд-во: Бином, 2006.
в) программное обеспечение
- пакеты прикладных математических программ MATHLAB, MATHEMATICA или MAPLE для выполнения домашнего задания по разделам учебной дисциплины.
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- база научно-технической информации ВИНИТИ РАН
Электронно-библиотечная система должна обеспечивать возможность индивидуального доступа каждого обучающегося из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
- компьютерный класс для выполнения домашних заданий с использованием пакетов прикладных программ.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
10.1. Рекомендуемые модули внутри дисциплины:
Модули соответствуют разделам дисциплины.
10.2. Образовательные технологии, а также примеры оценочных средств текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации:
Примерным учебным планом на изучение курса отводится 180 часов в первом и втором семестрах. При этом 72 часа используется для аудиторных занятий. В конце первого семестра целесообразно предусмотреть зачёт, а в конце второго семестра – экзамен. На подготовку и сдачу зачёта и экзамена по ФГОС и примерному учебному плану выделяется дополнительно 9 часов и 36 часов соответственно. При изучении дисциплины целесообразно провести по одной контрольной работе и выдать по одному домашнему заданию в каждом семестре. Для выполнения домашнего задания выделяется 10 часов самостоятельной работы и 2 часа на защиту в рамках практических занятий. При разработке домашнего задания рекомендовать обучаемым использовать пакеты прикладных математических программ MAPLE, MATHEMATICA или MATHLAB. Представляется полезным ориентировать обучаемых на использование в самостоятельной работе вузовских электронно-библиотечных систем учебной литературы и базы научно-технической информации ВИНИТИ РАН через сеть Интернет.
При проведении занятий по учебной дисциплине рекомендуется следовать и традиционным технологиям, в частности, в каждом разделе курса выделять наиболее важные моменты и акцентировать на них внимание обучаемых.
Предлагается:
- При чтении лекций по первым трём разделам программы подчёркивать связь изучаемого материала с известными фактами из школьных курсов планиметрии и стереометрии и акцентировать внимание обучаемых на значении координатного метода как для геометрии, так и для математики в целом.
- При чтении лекций по всем разделам программы иллюстрировать теоретический материал большим количеством примеров, что позволит сделать изложение наглядным и продемонстрировать обучаемым приёмы решения задач.
- При изучении всех разделов программы добиться точного знания обучаемыми основных исходных понятий и фактов теории.
- При изучении четвёртого раздела дисциплины (Элементы высшей алгебры) обратить особое внимание на естественный источник абстрактных понятий – алгебраической операции и основных алгебраических структур, а именно, арифметических операций над числами и основных числовых множеств, известных из школьной математики;
10.3. Рекомендуемый перечень тем практических занятий:
- Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
- Элементы векторной алгебры.
- Системы координат на плоскости. Исследование свойств простейших геометрических объектов на плоскости координатным методом.
- Системы координат в пространстве. Исследование свойств простейших геометрических объектов в пространстве координатным методом.
- Понятие алгебраической операции. Определение кольца и поля. Простейшие свойства.
- Простейшие свойства делимости в кольце целых чисел. Кольца и поля вычетов. Поле комплексных чисел.
- Матрицы и определители над полем. Системы линейных уравнений над полем.
- Арифметические векторные пространства.
- Линейные преобразования векторных пространств.
- Простейшие свойства делимости многочленов над полем.
10.4. Рекомендуемый перечень тем домашней работы (задания):
- Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.
- Свойства конических и цилиндрических поверхностей. Линейчатые образующие.
- Использование свойств делимости в кольце целых чисел и кольце многочленов над полем для построения конечных полей.
- Системы линейных уравнений над конечными полями.
10.5. Рекомендуемый перечень тем контрольных работ:
- Элементы векторной алгебры. Прямая на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве.
- Действия с комплексными числами. Системы линейных уравнений над полем. Алгоритм Евклида в кольце целых чисел и кольце многочленов над полем
Разработчики: УМО ИБ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ПО ОБРАЗОВАНИЮ
В ОБЛАСТИ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
ПРОЕКТ
ПРИМЕРНАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
Наименование дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Рекомендуется для направления подготовки (специальности)
090302 Информационная безопасность телекоммуникационных систем
Квалификация (степень) выпускника
«Специалист»
МОСКВА 2011