Министерство образования и науки Российской Федерации Учебно-методическое объединение вузов по образованию в области информационной безопасности сборник примерных программ учебных дисциплин по направлению подготовки (специальности)
| Вид материала | Документы |
- Министерство образования и науки Российской Федерации Учебно-методическое, 3299.35kb.
- Ступности (государственной, воинской, транснациональной и иной) мы будем, 86.46kb.
- Лекция по теме № Условия конкретного преступления, 298.33kb.
- Расписание занятий на цикле сертификационного усовершенствования для интернов, 88.88kb.
- Министерство образования Российской Федерации Министерство путей сообщения Российской, 653.58kb.
- Министерство образования Российской Федерации Министерство путей сообщения Российской, 657.68kb.
- Общая характеристика работы Актуальность темы, 398.26kb.
- Рекомендации по организации профилактической работы, направленной на предупреждение, 1352.37kb.
- История исторической науки, 496.22kb.
- Министерство здравоохранения и социального развития Российской Федерации Государственное, 408.11kb.
5. Содержание дисциплины
5.1. Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Действительные функции и пределы.
Тема 1. Действительные числа. Понятие функции.
Действительные числа и их свойства. Понятие окрестности точки. Предельные, граничные и внутренние точки множества. Открытые и замкнутые множества. Отрезок, интервал, промежуток действительной прямой. Ограниченные множества. Понятие о верхних и нижних границах множества.
Понятие отображения (функции). Способы задания функций. Обратная функция, сложная функция.
Тема 2. Теория пределов числовых последовательностей и числовых рядов.
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Ограниченные и монотонные последовательности. Простейшие свойства пределов последовательностей. Число e.
Числовой ряд. Сходимость и расходимость ряда. Основные свойства числового ряда. Ряды с неотрицательными членами и основные признаки их сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды, их свойства. Операции над рядами: сложение и умножение сходящихся рядов, группировка и перестановка членов ряда.
Тема 3. Теория пределов функций одной действительной переменной.
Предел функции на языке последовательностей. Бесконечно большие, бесконечно малые и эквивалентные функции. Простейшие свойства пределов функций. Условие () существования предела функции. Предел сложной функции. Односторонние пределы. Предел монотонной функции. Основные виды неопределенностей.
Тема 4. Непрерывность функций одной действительной переменной.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация.
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной.
Производная функции. Геометрическое и механическое истолкование производной. Дифференцируемость функции, необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Связь с непрерывностью. Понятие дифференциала функции. Простейшие свойства производных и дифференциалов. Таблица производных и дифференциалов основных элементарных функций и дифференциал суммы, произведения и частного. Производная и дифференциал сложной функции и обратной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Механическое истолкование второй производной. Формула Лейбница для n-ой производной от произведения двух функций.
Дифференциалы высших порядков сложной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Простейшие формулы приближенного вычисления производных функции. Оценки погрешности.
Тема 6. Приложения дифференциального исчисления функций одной действительной переменной.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке. Экстремумы функций. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на замкнутом промежутке. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей. Касательная и нормаль к плоской кривой. Исследование функций с помощью дифференциального исчисления.
Раздел 2. Функции многих действительных переменных.
Тема 7. Теория пределов, непрерывность.
Понятие расстояния в действительном n-мерном арифметическом пространстве. Предельные, внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Понятие функции многих переменных. Вектор-функции числового аргумента. Предел и непрерывность.
Тема 8. Дифференцируемость функции многих действительных переменных.
Частные производные и производная по направлению. Дифференцируемые функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Признак дифференцируемости. Производная сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Условие независимости от порядка дифференцирования. Дифференцирование неявно заданных функций. Понятие об экстремумах функций многих переменных. Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой.
Раздел 3. Интегральное исчисление.
Тема 9. Неопределенный интеграл.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.
Тема 10. Определенный интеграл.
Задача вычисления площади криволинейной трапеции и другие задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл Римана (определенный интеграл). Простейшие свойства определенного интеграла. Существование первообразной непрерывной функции. Замена переменной. Геометрические приложения. Интегральные суммы. Основные приемы приближенного интегрирования.
Обобщенная первообразная. Интегралы от разрывных функций. Несобственные интегралы. Абсолютная сходимость. Признаки сходимости.
Тема 11. Кратные интегралы.
Простейшие сведения об интегралах, зависящих от параметра и их свойствах. Эйлеровы интегралы.
Двойной интеграл и его основные свойства. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу. Теорема о среднем значении. Замена переменных, переход в двойном интеграле к полярным координатам.
Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу. Замена переменных, переход в тройном интеграле к цилиндрическим и сферическим координатам. Понятие о многократных интегралах.
Тема 12. Криволинейные и поверхностные интегралы.
Криволинейные интегралы I и II рода. Вычисление и простейшие свойства криволинейных интегралов. Понятие о поверхностных интегралах. Элементы теории поля.
Раздел 4. Основные понятия теории функций комплексной переменной.
Тема 13. Введение.
Комплексные числа и функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Числовые ряды с комплексными членами.
Тема 14. Дифференцирование и интегрирование функций комплексной переменной.
Производная. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера) дифференцируемости функций комплексной переменной. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Интегралы от комплекснозначных функций действительной и комплексной переменной. Простейшие свойства. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Раздел 5. Дифференциальные уравнения.
Тема 15. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Основные определения. Частное и общее решение. Интегральные кривые. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 16. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Линейное однородное уравнение. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Неоднородное линейное уравнение, вид общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.
Раздел 6. Элементы теории функциональных рядов.
Тема 17. Функциональные последовательности и ряды в действительной области.
Основные понятия теории функциональных рядов. Равномерная сходимость функционального ряда. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы функционального ряда. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.
Тема 18. Функциональные ряды в комплексной области.
Степенные ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора. Показательная и логарифмическая функции. Тригонометрические функции. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана.
Тема 19. Теория вычетов.
Вычет относительно полюса. Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Тема 20. Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье.
Основные задачи гармонического анализа. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Признаки сходимости рядов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Метод Фурье решения дифференциальных уравнений в частных производных. Преобразование и интеграл Фурье.
Заключение
Рекомендации по самостоятельному углубленному изучению разделов курса. Многообразие и общность аналитических методов, их использование в других учебных дисциплинах. Обзор применения математических методов в профессиональной деятельности.
Обзор литературы для дальнейшего изучения математического анализа и его приложений.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
| № п/п | Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин | № № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1. | Физика | Х | Х | Х | Х | Х | Х |
| 2. | Теория вероятностей и математическая статистика | Х | Х | Х | Х | Х | Х |
| 3. | Теория информации и кодирования | | | Х | Х | | Х |
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
| № п/п | Наименование раздела дисциплины | Лекц. | Практ. зан. | Лаб. зан. | Семин. | СРС | Все-го |
| 1. | Действительные функции и пределы. | 18 | 18 | - | - | 18 | 54 |
| 2. | Функции многих действительных переменных. | 18 | 18 | - | - | 18 | 54 |
| 3. | Интегральное исчисление. | 54 | 54 | - | - | 72 | 180 |
| 4. | Основные понятия теории функций комплексной переменной. | 12 | 12 | - | - | 24 | 48 |
| 5. | Дифференциальные уравнения. | 12 | 12 | - | - | 24 | 48 |
| 6. | Элементы теории функциональных рядов. | 12 | 12 | - | - | 24 | 48 |
6. Лабораторный практикум: не предусмотрен
7. Примерная тематика курсовых проектов (работ) не предусмотрены
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
- Демидович Б.П.. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. М., АСТ, 2003.
- Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и упражнения. М., КомКнига, 2006.
- Петровский И.Ю. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ФМЛ, 2009.
- Фихтенгольц Г.М.. Основы математического анализа, т.т. 1, 2. М., Наука”, 2005.
б) дополнительная литература
- Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного.- М.: Наука, 2004.
- Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. М., КомКнига, 2003.
- Васильев А. Maple 8. Серия: Самоучитель. Изд-во: Вильямс, 2003.
- Курбатова Е. А. Matlab 7. Серия: Самоучитель. Изд-во: Вильямс, 2006.
- Поршнев С.В. Mathematica 7. Серия: Основы работы и программирования. Изд-во: Бином, 2006.
в) программное обеспечение
- пакеты прикладных математических программ MATHLAB, MATHEMATICA или MAPLE для выполнения домашних заданий по разделам учебной дисциплины.
г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
- вузовские электронно-библиотечные системы учебной литературы.
- база научно-технической информации ВИНИТИ РАН
Электронно-библиотечная система должна обеспечивать возможность индивидуального доступа каждого обучающегося из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
- компьютерный класс для выполнения домашних заданий с использованием пакетов прикладных программ.
10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:
10.1. Рекомендуемые модули внутри дисциплины:
Модули соответствуют разделам дисциплины.
10.2. Образовательные технологии, а также примеры оценочных средств текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации:
Примерным учебным планом на изучение курса отводится 504 часа в первом, втором и третьем семестрах. При этом 252 часа используется для аудиторных занятий. В конце первого и третьего семестров целесообразно предусмотреть экзамены, а в конце второго – зачёт. На подготовку экзаменов по ФГОС и примерному учебному плану выделяется дополнительно 72 часа, на подготовку к зачёту в рамках самостоятельной работы выделяется 9 часов. При изучении дисциплины целесообразно провести по одной контрольной работе и выдать домашние задания по: одному в первом и третьем семестрах и два – во втором семестре. Для выполнения домашних заданий выделяется по 10 часов самостоятельной работы и по 2 часа на защиту в рамках практических занятий. При разработке домашнего задания можно рекомендовать обучаемым использовать пакеты прикладных математических программ MAPLE, MATHEMATICA или MATHLAB. Представляется полезным ориентировать обучаемых на использование в самостоятельной работе вузовских электронно-библиотечных систем учебной литературы и базы научно-технической информации ВИНИТИ РАН через сеть Интернет.
При проведении занятий по учебной дисциплине рекомендуется следовать и традиционным технологиям, в частности, в каждом разделе курса выделять наиболее важные моменты и акцентировать на них внимание обучаемых.
Предлагается:
- При чтении лекций по всем разделам программы иллюстрировать теоретический материал большим количеством примеров, что позволит сделать изложение наглядным и продемонстрировать обучаемым приёмы решения задач.
- При изучении всех разделов программы добиться точного знания обучаемыми основных исходных понятий и фактов теории.
- На практических занятиях по первому, второму, третьему и шестому разделам постоянно обращать внимание обучаемых на прикладное значение дифференциального, интегрального исчисления и теории рядов, на необходимость уверенного овладения соответствующим аппаратом.
- При изучении четвёртого раздела дисциплины необходимо подчёркивать качественное отличие свойств исходных понятий предела, производной и интеграла от свойств соответствующих понятий в теории функций действительной переменной.
- При изучении пятого раздела дисциплины подробно остановиться на важности теории дифференциальных уравнений для построения математических моделей при изучении многих процессов.
10.3. Рекомендуемый перечень тем практических занятий:
- Действительная прямая. Верхние и нижние грани числовых множеств. Открытые и замкнутые множества.
- Пределы числовых последовательностей.
- Числовые ряды.
- Пределы функций.
- Дифференцируемые функции.
- Приложения дифференциального исчисления функций одной действительной переменной.
- Функции нескольких переменных.
- Неопределенные интегралы.
- Определенные интегралы.
- Несобственные интегралы.
- Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
- Приложения интегрального исчисления.
- Пределы и производные функций в комплексной области.
- Интегралы функций комплексной переменной.
- Функциональные ряды.
- Степенные ряды.
- Тригонометрические ряды Фурье.
- Интеграл и преобразование Фурье.