Решение уравнений Цели: 1 систематизировать сведения о рациональных уравнениях

Вид материала

Решение

Содержание V Сообщение ученика о решении возвратных уравнений

Подобный материал:

• Конспект урока по теме «Методы решения систем рациональных уравнений», 20.25kb.
• Системы линейных одновременных уравнений и их идентификация, 38.77kb.
• Методика изучения уравнений в курсе алгебры 7-9 классов Примерное содержание, 12.53kb.
• «Решение квадратных уравнений» Обобщающий урок в 8 классе, 65.77kb.
• Решение квадратных уравнений Цели урока, 92.37kb.
• Решение линейных уравнений Цель урока, 126.51kb.
• Решение логарифмических уравнений Цель: Обобщить знания по теме, сформировать умения, 153.04kb.
• Неравенств и, если «да», то найдите общее решение и частное решение двумя способами:, 11.47kb.
• Тема III. Системы рациональных уравнений, 33.46kb.
• Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы», 199.57kb.

9 класс. Решение уравнений

Цели: 1) систематизировать сведения о рациональных уравнениях

2) познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших

степеней

3) обучить решению дробных уравнений

Ход урока

I Организационный момент

II Сообщение ученика об Аль-Хорезми

Выдающийся арабский ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (что означает – из Хорезма) жил и работал в IХ веке н.э. в Багдаде. Тогдашний багдадский правитель халиф аль-Мамун почитал ученость и покровительствовал наукам. По его велению в Багдаде был построен «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией, и в эту, по нашим нынешним понятиям, академию собрались почти все крупные ученые арабского халифата.

Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми был среди тех ученых, которым халиф поручил переводы греческих математических трудов, измерение дуги меридиана и ряд других научных работ. Его перу принадлежит много книг по математике и астрономии. Его арифметический труд был одним из источников, по которым впоследствии Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления: аль-Хорезми разъяснил в ней индийскую систему записи чисел и изложил правила письменного счета в этой системе. Арабский оригинал этой книги утерян, но сохранился латинский перевод ХII века. Имя автора, в латинской транскрипции «Алгоризми», привело к появлению в языке математики слова «алгоритм», первоначально означавшему нумерацию по десятичной позиционной системе; впоследствии так стали называть труды, способствовавшие распространению в Европе индийского способа счёта, а затем, наконец, и сам этот счёт. В конечном итоге слово «алгоритм» стало обозначать совсем другое.

Другой знаменитый труд великого ученого по праву считается первой книгой по алгебре (само слово «алгебра» восходит к арабскому «аль-джебр», одному из терминов книги Аль-Хорезми). Это исследование, посвященное решению уравнений. Аль-Хорезми изучил линейные и квадратные уравнения, называл переменную «корнем» уравнения, квадрат переменной – просто «квадратом». Родоначальник алгебраической науки не знал, разумеется, никакой алгебраической символики, - до её создания оставалось ещё несколько столетий, - и всё свои выкладки описывал словами.

Приведем пример.

Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности и геометрическим, - так, как решали свои арифметические задачи древние греки. Способ решения задачи излагался в виде рецепта. Так что человек, давший имя алгоритму, приводил в своих трудах только алгоритмы решения уравнений!..

ІІІ Сообщение ученика по теме «Уравнения»

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение задач было исключительно арифметическим – из многих действий. В тот момент, когда появилась блестящая идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем, выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра.

В те времена не было еще общепринятых теперь обозначений переменных буквами, а действий – знаками. Уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчали жизнь.

Применение уравнений упрощает решение задач, но самое замечательное то, что одним и тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать некоторый тип уравнений, можно справиться с целыми классами задач, описывающихся уравнениями этого типа.

Равенство вида А(х) = В(х), где А(х) , В(х) - выражения, зависящие от х, называют уравнением с неизвестным х. Если выражения А(х), В(х) рациональны (т.е. получаются из х и чисел с помощью операций сложения, умножения и деления), то уравнение А(х) = В(х) называют рациональным.

Число а называют корнем уравнения А(х) = В(х), если при замене буквы х этим числом получается верное числовое равенство, А(а) = В(а). Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что оно не имеет корней.

Прежде чем решать уравнение А(х) = В(х), полезно установить, какие значения может принимать неизвестное х. Для этого надо найти, при каких значениях х имеют числовое значение выражения А(х) и В(х). Совокупность таких значений называют областью допустимых значений х для данного уравнения. Пишут ОДЗ.

На последних уроках алгебры мы рассматривали решение целых и дробных уравнений. Для решения уравнений нами применялись следующие методы: разложение на множители, введение нового неизвестного.

Пример. Найдите действительные решения уравнения (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297.

Решение. (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297 _ (х² + 4х – 5)(х² + 4х – 21) – 297 = 0. Введем обозначение: х² + 4х – 13 = у. Преобразуем уравнение к виду: (у – 8)(у + 8) – 297 = 0; у² – 64 – 297 = 0; у² = 361; у_1,2 = _19. Вернемся к исходной переменной, имеем:

1. х² + 4х- 13 = -19 _ х² + 4х +6=0 , D=-8, D_0, нет действительных корней.
   
2. х² + 4х -13 = 19 _ х² + 4х – 32 = 0. Решим уравнение по теореме, обратной теореме Виета х₁ + х₂ = - 4 и х_{1 } х₂ = - 32. Откуда х₁ = - 8 , х₂ = 4.
   

Ответ: - 8; 4.

IV Сообщение ученика о способе решения целых уравнений, опирающийся на теорему Безу

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называют, целым алгебраическим уравнением.

Теорема №1

Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. (Эту теорему называют теоремой Безу).

Теорема №2

Если уравнение а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x + a_n =0 имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример. Решите уравнение 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0.

Решение. 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0 (1)

Делителями свободного члена являются числа - 1, 1, -2, 2. Подставляя число -1 в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль. Значит, х = - 1 корень уравнения.

3х⁴ – 2х³ - 8х² – х + 2 │ х + 1

3х⁴ + 3х³ 3х³ – 5х² – 3х + 2

5х³ - 8х²

5х³ - 5х²

- 3х² - х

- 3х² - 3х

2х + 2

2х + 2

0

Итак, 3х⁴ – 2х³ - 8х² – х + 2 = (х + 1)(3х³ – 5х² – 3х + 2).

Решим уравнение 3х³ – 5х² – 3х + 2 = 0. (2)

Делителями свободного члена являются числа _1; _2. Подставляя число 2 в уравнение (2), находим, что левая часть обращается в нуль. Значит, х = 2 корень уравнения.

3х³ – 5х² – 3х + 2 │ х – 2

3х³ - 6х² 3х² + х - 1

х² - 3х

х² - 2х

- х + 2

- х + 2

0

Итак, уравнение (1) примет вид:

3х⁴ – 2х³ - 8х² – х + 2 = (х + 1)(х - 2)(3х² + х – 1) = 0.

х + 1 = 0 или х – 2 = 0 или 3х² + х – 1=0

х = - 1 х = 2 D = 13, х = _

Ответ: - 1; 2; _; _.

V Сообщение ученика о решении возвратных уравнений

Уравнение вида a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. если a_n-k = a _k при k = 0; 1; 2; 3; … ; n.

Рассмотрим возвратное уравнении четвертой степени вида ах⁴ + вх³ + сх² + вх + а = 0, где а, в, с – некоторые числа, причем а_0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на х² (при этом не происходит потери решения, т.к. х = 0 не является корнем исходного уравнения при а_0);
  
• группировкой привести полученное уравнение к виду а_ + с = 0;
  
• ввести новую переменную t = _, тогда выполнено t² = _ , т.е. _ = t² – 2. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: аt² + bt + c – 2а = 0;
  
• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
  

Пример №1. Решите уравнение х⁴ - 5х³ + 6х² – 5х + 1 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем _ + 6 = 0. Замена t = _ позволяет свести это уравнение к квадратному уравнению t² – 5t + 4 = 0. Сумма коэффициентов уравнения равна нулю (1-5+4=0), то t₁ = 1, t₂ = _ = 4.

В результате имеем совокупность двух уравнений _ = 1 или _ = 4.

Приведем их к целому виду.

1. х² – х + 1 = 0 2) х² – 4х + 1 = 0
   

D = - 3, - 3 _ 0 D₁ = 3, 3 _ 0

нет действительных корней х = 2 _{ }

Ответ: 2 - _; 2 + _.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

• _ вдвое меньшей степени подстановкой _ = t;
  
• возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = - 1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х + 1, приводится к возвратному уравнению четной степени.
  

Пример № 2. Решите уравнение 6х⁴ + 35х³ + 62х² + 35х + 6 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем

6_ + 62 = 0. Полагая _ = у, получаем 6у² + 35у + 50 = 0, D=25, у₁ = - _ и у₂ = -_.

1. _ = - _ 2) _ = - _
   

2х² + 5х + 2 = 0 3х² + 10х + 3 = 0

D = 9, х₁ = - 2 и х₂ = - _ D = 64, х₃ = - 3 и х₄ = - _

Ответ: -3; -_; -2; -_.

VI Сообщение ученика о решении дробных рациональных уравнений

Дробным рациональным уравнением называют уравнение, если левая или правая часть является дробным выражением.

_{  }

Пример №1. Решите уравнение х² + _.

Решение. Слева имеем сумму двух квадратов. Дополним эти два слагаемых до квадрата разности: х² – 2х_ + _= 7. Свернем полный квадрат и в скобках приведем к общему знаменателю:

_ + _ = 7,

_+ 6_ = 7.

Введем замену: _ = t.

Уравнение примет вид: t² + 6t – 7 = 0, t₁ = - 7, t₂ = 1.

1. _ = - 7 2) _ = 1
   

_ = 0 <sub>

 

 </sub>

D= - 35, нет действительных корней D = 13, х = _

х _ х _

Ответ: _, _.

Пример №2. Решите уравнение _ + _.

Решение. Если положить u = _, v = _ , то получим уравнение u² + v² = _ u _v. Перепишем это уравнение в виде 2u² – 5uv + 2v² = 0 (1). х = 1 не является корнем исходного уравнения, значит v _ 0. Поэтому мы можем обе части уравнения (1) разделить на v² (v _ 0). Выполнив деление, получим уравнение 2_, замена _= у.

2у² – 5у + 2 = 0, D= 9, у₁ = 2 и у₂ = _.

Итак, _ = 2 или _ = _.

Так как _{  } = _, то имеем совокупность двух уравнений:


_ = 2 или _ = _ .


Решим их.

1. х² – х – 2 = 2х² +2х – 4 2) 2х² – 2х – 4 = х² + х – 2
   

х² + 3х – 2 = 0 х² – 3х – 2 = 0

D = 17 D = 17

х₁= _, х₂ = _. х₃= _, х₄ = _.

Ответ: _, _, _, _.

VII Подведение итогов урока