Решение квадратных уравнений Цели урока

Вид материала

Решение

Содержание Ход урока 7х - 8 = О? Ученик. Сообщение учащихся. Рассмотрим решение уравнений из «Поля чудес» (во время сообщения о Диофанте один уч-ся решает у доски) Решение уравнения по алгоритму Выставление оценок Виды работ на уроке Итоговая оценка Виды работ на уроке

Подобный материал:

• Урока алгебры и информатики «система счисления. Решение задач с помощью квадратных, 98.53kb.
• Тема: «Решение квадратных уравнений с помощью номограммы», 98.28kb.
• Решение линейных уравнений Цель урока, 126.51kb.
• Конспект урока. Тема урока. Функционально-графические методы при решении тригонометрических, 66.13kb.
• Сценарий урока №2 "Решение полных квадратных уравнений", 15.69kb.
• Зюзина Татьяна Ивановна, гимназия №12 г. Липецка Тема: решение, 117.75kb.
• «квадратные уравнения», 46.79kb.
• «История возникновения квадратных уравнений», 131.57kb.
• Тема: Исследование проблемы решения , 104.57kb.
• Урок алгебры в 8 классе с применением информационных технологий по теме «Решение квадратных, 94.17kb.

Алгебра 8 класс

Решение квадратных уравнений

Цели урока:

Обучающие: отработка умений и навыков при решении квадратных уравнений;

ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся;

организация поисковой деятельности учащихся при решении квадратных

уравнений.

Развивающие: расширение кругозора учащихся;

развитие интереса учащихся к предмету;

развитие личностных качеств учащихся;

развитие умения самостоятельно приобретать новые знания;

развитие творческих способностей.

Воспитательные; воспитание чувства коллективизма, ответственности за порученное

дело;

воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

развитие самостоятельности и творчества

Ход урока

1. Организационный момент
   

Сообщение темы, цели урока – повторим теоретические сведения по теме «квадратные уравнения» и проверим, как умеем применять знания и умения, полученные при изучении темы.

2. Актуализация и мотивация знаний
   

Ребята, какие ассоциации у вас возникают с понятием «квадратные уравнения»?




3. Изучение нового материала





Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

Магнитами на доске прикреплены карточки с уравнениями:

3х² + 4х + 1 = 0 (1)

3х² – 2х -5 =0 (2)

Х² + 4х + 3 = 0 (3)

Х² -4х +3 =0 (3)

Х² + 4х -5 = 0 (3)

Х² – 4х -5 = 0 (3)

Учитель. Как, не решая уравнения, узнать, име­ет ли уравнение корни?

Ученик. Если а и с с противоположными знаками, то уравнение всегда имеет действительные корни.

Учитель. Как определить знаки корней?

Ученик. Если свободный член — положительное число, то корни имеют одинаковые знаки. Дальше выясняем знак второго коэффициента. Если он отри­цательный, то корни положительные, и наоборот. Если же свободный член — отрицательное число, то корни имеют противоположные знаки. Причем, если вто­рой коэффициент положительный, то больший корень по модулю — отрицательный, и наоборот.

Учитель. С чего лучше начать решение квадрат­ных уравнений 2х² + 4х - 10 = 0 и

-Зх² + 7х - 8 = О?

Ученик. В первом уравнении лучше обе части раз­делить на два. Во втором уравнении обе части урав­нения умножить на минус единицу.

Учитель. Ученики часто спрашивают, для чего нужно анализировать уравнение — можно сразу на­чать решать. Что бы вы им ответили?

Ученик. Для проверки и самоконтроля.

Учитель. А теперь вспомним, как решаются квад­ратные уравнения.

На столе — карточки с уравнениями, формулами корней и формулами дискриминантов. Какие формулы каким уравнениям соответствуют? (Магнитами
прикрепим карточки к доске.)

ах² + bx + c = 0 (1)

ах² + 2kx + c = 0 (2)

х² + px + q = 0 (3)

D = b² - 4ac (1)

D₁ = k² – ac (2)

D₂ = p²- 4 q (3)

x _{1 ,2} =

x _{1 ,2} =

х₁ + х₂ = - p

х₁ . х₂ = q

• 
  
• 
  
• (Виет, Фибоначчи)
  

Сегодня мы узнаем имя еще одного математика. Для этого проведем математическое «Поле чудес».

Существует много способов решения квадратных уравнений.




В результате получили имя ДИОФАНТ. Один из учащихся сообщает краткие сведения из жизни Диофанта.


Сообщение учащихся.

Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта: полагают, что он жил в 111 в. н.э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.


Задача – загадка сводится к составлению и решению уравнения:


1/6 х + 1/12 х + 1/7 х + 5 + 1/2х +4 = х


Откуда х = 84 – вот сколько лет жил Диофант.

Рассмотрим решение уравнений из «Поля чудес» (во время сообщения о Диофанте один уч-ся решает у доски)

1. х² = 5, х= ± 5
   

2. 7 х² + 14х = 0, 7х (х+2) =0 7х = 0 , х=0 или х + 2=0, х = - 2
   

3. х² + 4х + 4 =0, (х+2)² = 0, х+2 =0, х=-2
   

4. 2х² – 11х +5 =0 а=2, b =-11, с=5 D = b ² – 4ас = 121-40 = 81, 81 › 0 два различных корня: х_{1, 2} = ^11±9
   

5. 3х² – 2х -5=0 а=3, k = -1, с= -5 D₁= k²- ас = (-1)² + 15 = 16, 16 › 0 – два различных корня: х_{1, 2} = ^1±4 х₁ = -1, х₂ =
   

6. х²+5х +4 = 0 p=5 q=4 D = b ² – 4ас =25-16 =9
   

9 › 0 два различных корня:

7. х²-4=0 (х-2) (х+2)=0, х-2=0, х=2 или х+2 =0, х=-2
   

• «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным.» Паскаль
  
• В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом:
  
• Каждый получает один из 7 лепестков.
  
• Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим цветом. Сумма ответов на лепестках зеленого цвета соответствует первой букве имени ученого, Светло-коричневого – второй букве, голубого – третьей букве, оранжевого - четвертой букве, розового – пятой букве, бирюзового – шестой букве, сиреневого – седьмой букве.
  
• На табло записаны буквы и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Группа учащихся с лепестками одного цвета называет свой ответ и на табло находит соответствующую букву.
  

В результате на доске вывешивается по одной букве и получается имя ученого

Б А С Х А Р К

23 45,6 6,5 0 34 27 12









Алгоритм решения квадратного уравнения (на обратной стороне доски).

• Выполнить тождественные преобразования: перенесение выражения из правой части в левую, ме­няя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и то же число; применение тождеств сокращенного ум­ножения, приведение подобных членов, запись урав­нения в стандартном виде.
  
• Выделить в уравнении коэффициенты.
  
• Вычислить дискриминант.
  

Если D > 0, то вычислить корни по общей формуле

Если D = 0, то вычислить корни по общей формуле

Если D ‹ 0, то корней нет


Решение уравнения по алгоритму


4х² -10 = 4х – 2х²


4х² -10 -4х + 2х²=0


6х²-4х -10 = 0


Анализ: Если уравнение имеет корни, то они с противоположными знаками, причем больший по модулю – положителен. Решить его можно двумя способами. (Вариант 1. решаем по общей формуле, вариант 2 - по формуле для четного второго коэффициента).


В1. а=3, b =-2, с=-5 D= b² -4ас = 4 +60 = 64, 64 > 0 два различных корня:


В2. а=3, k = -1, с = -5 D= k² –ас = (-1)²+15 =16, 16 > 0 два различных корня:


Проверим верность решения: действительно, корни имеют разные знаки, причем больший по модулю – положительный.




Кто справится раньше, тот решает логическую задачу.

Х² -5х +4 =0


Решение: Координаты точки А (4;1). Эти же числа 4 и 1 являются корнями уравнения х² -5х +4 =0. Значит , координаты точки В (-3;2) являются корнями уравнения

х² +х -6 =0.





























Выставление оценок


Оценочный лист ученика 8 класса ________________________________________

	Виды работ на уроке	Оценки
1	Соотнеси верно
2	Кроссворд
3	Поле чудес
4	Решение квадратных уравнений (Цветик-семицветик)
5	Творческое задание
6	Реши уравнения по алгоритму
7	Самостоятельная работа
8	Решение логической задачи
9	Решение квадратных уравнений с параметром
10	Задания по выбору
11	Нестандартная задача
12	Тест
13	Составь уравнение и реши
14	Работа с учебником
Итоговая оценка

Оценочный лист ученика 8 класса ________________________________________

	Виды работ на уроке	Оценки
1	Соотнеси верно
2	Кроссворд
3	Поле чудес
4	Решение квадратных уравнений (Цветик-семицветик)
5	Творческое задание
6	Реши уравнения по алгоритму
7	Самостоятельная работа
8	Решение логической задачи
9	Решение квадратных уравнений с параметром
10	Задания по выбору
11	Нестандартная задача
12	Тест
13	Составь уравнение и реши
14	Работа с учебником
Итоговая оценка